דף עבודה: מבחנים מיוחדים (רמה קשה)
GeekHerowww.geekhero.co.il
- 1.הופקד סכום של 8,000 ש״ח בריבית דריבית שנתית של 10%. לאחר שנתיים נמשך הסכום כולו ונוצל לקניית מוצר שמחירו לפני הנחה הוא 12,000 ש״ח. מה אחוז ההנחה המינימלי שצריך לקבל כדי שהסכום שנמשך יספיק לקנייה? (1.1² = 1.21)
- 2.f(x)=x³. מהי הפונקציה אחרי שיקוף לציר x?f(x) = x³
- 3.באיזה תחום הפונקציה y=x²−4x עולה?y = x²−4x
- 4.בכיתה 30 תלמידים. 18 לומדים אנגלית, 14 לומדים צרפתית, ו־8 לומדים את שתי השפות. כמה תלמידים אינם לומדים אף אחת מהשפות? (תורת הקבוצות + הסתברות + יישומים)
- 5.צמצם: (x²+5x+6)/(x²−4).
- 6.α, β הם שורשי x² − 3x + 1 = 0. מהו α⁴ + β⁴?
- 7.הפרבולה y = x² + bx + c עוברת דרך (1, 0) ו־(4, 0). מהו c? (שילוב: פרבולה + מערכת משוואות + ויאטה)
- 8.סדרה חשבונית: האיבר הראשון a₁ = 3, ההפרש d = 4. מה סכום 20 האיברים הראשונים?
- 9.אם sin α = 3/5 ו-α חדה, מה cos α?
- 10.נתון פולינום עם שורשים a, b, c המקיים a + b + c = 0, ab + bc + ca = −7, abc = −6. מהו a³ + b³ + c³?
- 11.סכום של 5,000 ש״ח הופקד בריבית דריבית שנתית. לאחר שנתיים הסכום הוא 5,832 ש״ח. מהו אחוז הריבית השנתי?
- 12.פתור: 1/x + 1/(x+2) = 3/4 (x>0).
- 13.פתור: (x+1)/(x−2) = 3.
- 14.שני מסלולי חיסכון עם קרן 10,000 ₪: מסלול A: ריבית דריבית 5% לשנה. מסלול B: 500 ₪ רווח קבוע בשנה (ריבית פשוטה). לאחר 10 שנים, מה הסכום בכל מסלול, ואיזה עדיף? (1.05¹⁰ ≈ 1.629)
- 15.שורשי הפולינום x³ − 7x² + 14x − 8 הם a, b, c. מהו a² + b² + c²?
מפתח תשובות
- 19.33% — סכום לאחר שנתיים: 8,000 × 1.21 = 9,680 ש״ח. סכום ההנחה הנדרש: 12,000 − 9,680 = 2,320 ש״ח. אחוז ההנחה: 2,320/12,000 = 0.19333… ≈ 19.33%.
- −x³ — שיקוף לציר x: f→−f. ולכן y=−x³.
- x>2 — x_v=2. פרבולה כלפי מעלה: עולה מימין לקודקוד, יורדת משמאל.
- 6 — לפי עיקרון ההכלה־הפרדה: |A ∪ B| = 18 + 14 − 8 = 24 לומדים לפחות שפה אחת. לכן 30 − 24 = 6 תלמידים אינם לומדים אף שפה.
- (x+3)/(x−2) — המונה (x+2)(x+3), המכנה (x−2)(x+2). צמצם (x+2): (x+3)/(x−2).
- 47 — לפי וייטה: α+β=3, αβ=1. α²+β² = 9 − 2 = 7. α⁴+β⁴ = (α²+β²)² − 2(αβ)² = 49 − 2 = 47.
- 4 — אם השורשים הם 1 ו־4, אז לפי משפט ויאטה: מכפלת השורשים = c/a = c. 1 × 4 = 4 → c = 4. (סכום = −b/a = 5, אז b = −5).
- 820 — נוסחת סכום סדרה חשבונית: Sₙ = n/2·(2a₁ + (n−1)d). S₂₀ = 20/2·(2·3 + 19·4) = 10·(6 + 76) = 10·82 = 820.
- 4/5 — זהות פיתגורס: sin²+cos²=1. cos²=1−9/25=16/25 ⟹ cos=4/5 (חדה).
- −18 — זהות חשובה: a³+b³+c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² − ab−bc−ca). מכיוון ש-a+b+c=0 הצד הימני מתאפס, ולכן a³+b³+c³ = 3abc = 3·(−6) = −18. (אימות: השורשים 1, 2, −3 נותנים 1 + 8 − 27 = −18.)
- 8% — 5,832 = 5,000 × (1+r)² → (1+r)² = 1.1664 → 1+r = √1.1664 = 1.08 → r = 0.08 = 8%. בדיקה: 5,000 × 1.08² = 5,000 × 1.1664 = 5,832. ✓
- x=2 — מכפילים את שני האגפים במכנה המשותף 4x(x+2): 4(x+2)+4x=3x(x+2). פותחים סוגריים: 8x+8=3x²+6x, ולכן 3x²−2x−8=0. מפרקים לגורמים: (3x+4)(x−2)=0, ומכאן x=2 או x=−4/3. מכיוון שנתון x>0, הפתרון היחיד הוא x=2. בדיקה: 1/2+1/4=3/4 ✓.
- x=3.5 — x+1=3(x−2) ⟹ x+1=3x−6 ⟹ 7=2x ⟹ x=3.5.
- A: 16,290 ₪, B: 15,000 ₪; מסלול A עדיף — שלב 1 — מסלול A (דריבית): A = 10,000 × 1.05¹⁰ = 10,000 × 1.629 = 16,290 ₪. שלב 2 — מסלול B (פשוטה): B = 10,000 + 500 × 10 = 10,000 + 5,000 = 15,000 ₪. שלב 3 — 16,290 > 15,000 → מסלול A עדיף.
- 21 — לפי וייטה: a+b+c = 7, ab+bc+ca = 14. ולכן a²+b²+c² = (a+b+c)² − 2(ab+bc+ca) = 49 − 28 = 21. (השורשים הם 1, 2, 4 ו-1+4+16 = 21.)