דף עבודה: שברים (רמה קשה)

מפתח תשובות

1. (2x+1)/(x+1) — מונה: (2x+1)(3x−2). מכנה: (3x−2)(x+1). לאחר צמצום (3x−2): (2x+1)/(x+1).
2. 4v/3 — מהירות ממוצעת = 2d / (d/v + d/2v) = 2d / (3d/2v) = 4v/3.
3. 1/x — (x+h)/x − 1 = (x+h−x)/x = h/x. חלוק ב־h: (h/x)/h = 1/x.
4. 1/2 — חלק ב-n²: (1+3/n)/(2-1/n²) → 1/2.
5. (x²+2x+4)/(x+2) — x³−8 = (x−2)(x²+2x+4). x²−4 = (x−2)(x+2). לאחר צמצום (x−2): (x²+2x+4)/(x+2).
6. (x² + 1)/(x² − 1) — מ.מ.כ = x. מונה: (x² + 1)/x. מכנה: (x² − 1)/x. חלוקה: (x² + 1)/(x² − 1).
7. 1 — x²−6x+9 = (x−3)². √((x−3)²) = |x−3| = x−3 (כי x>3). אז (x−3)/(x−3) = 1.
8. 2/3 — (2+4)/(3+6)=6/9=2/3=a/b.
9. x = 9 — x/(x−3) − 3/(3−x) = 2. שימו לב: 3/(3−x) = −3/(x−3), לכן המשוואה שקולה ל-x/(x−3) + 3/(x−3) = 2, כלומר (x+3)/(x−3) = 2. מכפילים את שני האגפים ב-(x−3): x+3 = 2(x−3) = 2x−6. מעבירים אגפים: x+3−2x+6 = 0 → −x+9 = 0 → x = 9. בודקים תקינות: x=9 שונה מ-3, מותר. הצבה לבדיקה: 9/(9−3) − 3/(3−9) = 9/6 − 3/(−6) = 1.5 + 0.5 = 2 ✓.
10. a²+b² — (a/b)·ab+(b/a)·ab = a²+b².
11. x < 1 או x ≥ 3 — מעבירים אגף: 2/(x−1) − 1 ≤ 0 → (2−(x−1))/(x−1) ≤ 0 → (3−x)/(x−1) ≤ 0. בודקים סימן בשלושה תחומים לפי הנקודות הקריטיות x=1,x=3: עבור x<1 — מונה (3−x)>0, מכנה (x−1)<0, השבר שלילי ≤0 ✓. עבור 1<x<3 — מונה חיובי, מכנה חיובי, השבר חיובי, לא מקיים. עבור x=3 — השבר=0, מקיים ✓. עבור x>3 — מונה שלילי, מכנה חיובי, השבר שלילי ≤0 ✓. לכן הפתרון: x<1 או x≥3.
12. 2x + h — (x+h)² − x² = x²+2xh+h² − x² = 2xh+h². חלקו ב-h: (2xh+h²)/h = 2x+h.
13. n/(n + 1) — כל איבר: 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1) (שברים חלקיים). הסכום מתקצר: 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1).
14. (2(x+2))/(x−2) — מונה: 2(x²−4) = 2(x−2)(x+2). מכנה: (x−2)². מנה: 2(x+2)/(x−2).
15. 9/4 — מונה: 3/2. מכנה: 2/3. חילוק: (3/2)/(2/3)=3/2·3/2=9/4.