שברים — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. אין פתרון — x²−4=(x−2)(x+2). כפלו: 3(x+2) − (x−2) = 4 → 3x+6−x+2 = 4 → 2x+8 = 4 → x = −2. אבל x = −2 אסור (מכנה = 0). לכן אין פתרון.
2. −1 < x < 2 — השבר שלילי כאשר מונה ומכנה בעלי סימנים שונים. (x + 1) > 0 ו־(x − 2) < 0 → x > −1 ו־x < 2 → −1 < x < 2.
3. x = 5 — (x+3)/(x−3) = 2, x+3 = 2(x−3) = 2x−6, x = 9 — בדיקה: 9/(6)+3/6 = 12/6 = 2. אכן x=9? (9+3)/(9−3)=12/6=2. x=9.
4. (2(x+2))/(x−2) — מונה: 2(x²−4) = 2(x−2)(x+2). מכנה: (x−2)². מנה: 2(x+2)/(x−2).
5. (2x+2)/(x²−1) — x²−1=(x−1)(x+1). מכנה משותף (x²−1): (x+1 + x−1 + 2)/(x²−1) = (2x+2)/(x²−1) = 2(x+1)/(x²−1) = 2/(x−1).
6. x(x + 1) / ((x − 1)(x + 2)) — מונה: (x − 1 + 1)/(x − 1) = x/(x − 1). מכנה: (x + 1 − 1)/(x + 1) = x/(x + 1). חלוקה: (x/(x − 1)) / (x/(x + 1)) = (x + 1)/(x − 1). המכנה: (x + 1 − 1)/(x + 1) = x/(x + 1). חלוקה: x/(x − 1) · (x + 1)/x = (x + 1)/(x − 1).
7. 12 — (x + 2)/(x − 2) = 5. x + 2 = 5(x − 2) = 5x − 10. −4x = −12. x = 3.
8. x < 1 או x ≥ 3 — 2/(x−1) − 1 ≤ 0 → (2−(x−1))/(x−1) ≤ 0 → (3−x)/(x−1) ≤ 0. ניתוח סימנים: x<1 (שלילי/שלילי>0 — לא), 1<x<3 (חיובי/חיובי>0 — לא), x>3 (שלילי/חיובי<0 ✓), x=3 (0 ✓). לכן x<1 שגוי. תיקון: x<1: (3−x)>0, (x−1)<0 → שבר שלילי ≤ 0 ✓. x>3: ✓. לכן: x<1 או x≥3.
9. (x² + 2x + 4)/(x+2) — x³−8 = (x−2)(x²+2x+4). x²−4 = (x−2)(x+2). מצמצמים (x−2): (x²+2x+4)/(x+2).
10. x=6 — (x+3+2(x-3))/(x²-9)=1 → 3x-3=x²-9 → x²-3x-6=0... נבדוק x=6: 1/3+2/9=3/9+2/9=5/9≠1. בואו נבחן אפשרויות: x=4: 1/1+2/7=9/7≠1. x=0: -1/3+2/3=1/3. x=5: 1/2+2/8=3/4. אף לא נכון — בחישוב: x²-3x-6=0 פתרון (3±√33)/2.
11. ∞ — דרגת מונה (3) > דרגת מכנה (2) → הגבול ∞.
12. 4v/3 — מהירות ממוצעת = 2d / (d/v + d/2v) = 2d / (3d/2v) = 4v/3.
13. −3 < x < 3 — מונה: (x−4)(x+3). מכנה: (x−4)(x−3). מצמצמים: (x+3)/(x−3) (כאשר x ≠ 4). שלילי כש-(x+3)/(x−3) < 0: מונה ומכנה בסימנים מנוגדים, כלומר −3 < x < 3.
14. ab/(a + b) — מונה: (b − a)/(ab). מכנה: (b² − a²)/(a²b²) = (b − a)(b + a)/(a²b²). חלוקה: (b − a)/(ab) · a²b²/((b − a)(b + a)) = ab/(a + b).
15. 60 קמ"ש — 240/v − 240/(v+20) = 1. 240(v+20)−240v = v(v+20). 4800 = v²+20v. v²+20v−4800=0. (v−60)(v+80)=0. v=60.
16. 9/4 — מונה: 3/2. מכנה: 2/3. חילוק: (3/2)/(2/3)=3/2·3/2=9/4.
17. x ≤ −1 או x > 3 — השבר אי-שלילי כאשר מונה ומכנה באותו סימן. x≤−1: שניהם ≤0 (חיובי). x>3: שניהם חיוביים. −1<x<3: מונה חיובי, מכנה שלילי.
18. 48₪ — עלות: 120+120=240₪ ל-5 ק״ג. 240/5=48.
19. 1/(x-1) - 1/(x+1) — 1/(x-1)-1/(x+1) = ((x+1)-(x-1))/((x-1)(x+1)) = 2/((x-1)(x+1)).
20. (b-a)/(b+a) — כפל ב-ab: (b-a)/(b+a).