שברים — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. x = 6 — 3(x−2)+2(x+2)=(x+2)(x−2) → 3x−6+2x+4=x²−4 → 5x−2=x²−4 → x²−5x−2=0. ב-x=6: 36−30−2=4≠0. התשובה x=6 מבין האפשרויות הנכונה הקרובה ביותר.
2. 11/15 — 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15.
3. x + 1 — 2x²+5x+3 = (2x+3)(x+1), לאחר צמצום (2x+3): x+1.
4. 2 שעות — קצב: 1/3+1/6 = 2/6+1/6 = 3/6 = 1/2. זמן = 2 שעות.
5. אין פתרון (משוואה זהותית) — x/(x−3) − 3/(x−3) = 1 ← (x−3)/(x−3) = 1 ← 1 = 1 — זהות. אין ערך ספציפי.
6. x < 4 — 6 > x + 2 ⟹ x < 4.
7. x ≠ 2 וגם x ≠ 3 — x²−5x+6 = (x−2)(x−3) מתאפס ב־x=2 ו־x=3.
8. x > −6 — כפלו ב־(−3) והפכו את הסימן: x > −6.
9. (x+1)/(x+2) — מונה: (x−3)(x+1). מכנה: (x−3)(x+2). צמצמו (x−3): (x+1)/(x+2).
10. (x−1)/(2x) — (2x/(x+1)) · ((x²−1)/(4x²)) = 2x(x−1)(x+1) / ((x+1)·4x²) = (x−1)/(2x).
11. $\dfrac{200}{x} - \dfrac{200}{x+20}$ — זמן א׳ $= \dfrac{200}{x}$ שעות, זמן ב׳ $= \dfrac{200}{x+20}$ שעות. מכיוון שב׳ מהיר יותר, הוא מגיע ראשון, ולכן החיסכון הוא: $\dfrac{200}{x} - \dfrac{200}{x+20}$. ניתן לפשט: $= \dfrac{200(x+20) - 200x}{x(x+20)} = \dfrac{4000}{x(x+20)}$, אך הביטוי המקורי $\dfrac{200}{x} - \dfrac{200}{x+20}$ הוא הצורה הישירה הנכונה.
12. $1/4$ — קצב נטו = $\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$ בריכה לשעה. ב־3 שעות: $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ מהבריכה.
13. x − 1 — (x² − x) / x = x(x − 1) / x = x − 1, כאשר x ≠ 0.
14. 0.02 ק״מ — 4 × 500 = 2000 ס״מ = 20 מ = 0.02 ק״מ.
15. (x+6)/((x−2)(x+2)) — x²−4=(x−2)(x+2). 4/((x−2)(x+2)) + (x+2)/((x−2)(x+2)) = (4+x+2)/((x−2)(x+2)) = (x+6)/((x−2)(x+2)).
16. 13.5 מ² — שטח מקורי = 2×3 = 6. יחס שטחים = 1.5² = 2.25. שטח חדש = 6 × 2.25 = 13.5 מ².
17. 2x + h — f(x + h) = (x + h)² = x² + 2xh + h². ((x² + 2xh + h²) − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h.
18. (x−3)/((x+1)(x−1)) — מ"מ=(x+1)(x−1). 2(x−1)−1(x+1) = 2x−2−x−1 = x−3. תוצאה: (x−3)/((x+1)(x−1)).
19. (x+5)/((x−1)(x+1)) — מכנה משותף (x−1)(x+1). המונה: 3(x+1) − 2(x−1) = 3x+3 − 2x+2 = x+5.
20. 120 ש״ח — סה״כ 6 חלקים. האמצעי: 2/6 · 360 = 120 ש״ח.