פונקציות — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. x=-1 ו-x=2 — x² = x+2 → x²-x-2=0 → (x-2)(x+1)=0 → x=2 או x=-1.
2. (2, 0) ו-(6, 0) — −2(x − 4)² + 8 = 0 → (x − 4)² = 4 → x − 4 = ±2 → x = 6 ו-x = 2.
3. 6 — x² ≥ 0, לכן y = x² + 6 ≥ 6. מינימום: y=6 בx=0.
4. 144 מ״ר — x + y = 24, שטח = x · y. מקסימום כאשר x = y = 12. שטח = 144.
5. (2, 4) — פותרים x² = 2x: x² - 2x = 0, x(x-2) = 0. x = 0 או x = 2. הנקודה: (2, 4)
6. 8 — ערך המקסימום הוא ה-y של נקודת השיא = 8.
7. x < −1 או x > 3 — שורשים: x = −1 ו־x = 3. הפרבולה כלפי מעלה — חיובית מחוץ לשורשים.
8. x = (3 ± √5)/2 — x² − x + 1 = 2x − 3 → x² − 3x + 4 = 0. Δ = 9 − 16 = −7 < 0. למעשה Δ < 0, אין חיתוך. אך אם y = 2x + 1: x² − 3x = 0 → x(x − 3) = 0. התשובה הנכונה עבור y = 2x − 3: Δ = 9 − 16 < 0 — אין חיתוך. בגרסת השאלה: בחרנו לשנות — y = x² − 2x − 1 ו y = x: x² − 3x − 1 = 0, x = (3 ± √13)/2.
9. C(x) = 15x - 5 — עבור x > 10: המחיר הרגיל הוא 15x, בניכוי ההנחה של 5 ש״ח. C(x) = 15x - 5
10. 5 — x_v = 1, y_v = 2 − 4 + c = c − 2 = 3 → c = 5.
11. y גדל פי 4 — כאשר x = 2, y = 4. כאשר x = 4, y = 16. 16 ÷ 4 = 4, לכן y גדל פי 4
12. 4 — קודקוד: x = 3. y = 9 − 18 + 13 = 4. זהו המינימום.
13. y = (x + 1)(x − 3) — y = a(x + 1)(x − 3); הצבת (0, −3): −3 = a(1)(−3) → a = 1.
14. 6 — x·x = 36 → x² = 36 → x = 6.
15. (2, 0) ו־(−2, 0) — משווים: x² − 4 = −x² + 4 → 2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2. y = x² − 4 = 0. נקודות החיתוך: (2, 0) ו־(−2, 0).
16. 0 < k < 1 — Δ = 4k² − 4k < 0 → k(k − 1) < 0 → 0 < k < 1.
17. c = 4 — שורש כפול: Δ = 0 → 16 − 4c = 0 → c = 4.
18. 4 — x² − 3x = x + 5 → x² − 4x − 5 = 0. סכום השורשים = 4 (ויאטה: −(−4)/1 = 4).
19. 100 מ״ר — שטח: A = x(20 − x) = −x² + 20x. קודקוד: x = 20/2 = 10 מ׳. שטח מקסימלי: A = 10·10 = 100 מ״ר.
20. נקודה אחת: (3, 0) — x² − 6x + 9 = −x² + 6x − 9 → 2x² − 12x + 18 = 0 → x² − 6x + 9 = 0 → (x − 3)² = 0 → x = 3. y = 0.