פונקציות — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 1 < x < 3 — −x² + 4x − 3 = 0 → x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 או x = 3. פתוחה למטה — y > 0 בין השורשים: 1 < x < 3.
2. x = 20 — רווח P(x) = R(x) − C(x) = 50x − x² − 10x − 200 = −x² + 40x − 200. מקסימום ב-x = −40/(2·(−1)) = 20.
3. (0, 0) ו־(2, 4) — x² = 4x − x² → 2x² − 4x = 0 → 2x(x − 2) = 0 → x = 0 (y = 0) ו־x = 2 (y = 4).
4. y = x² − 4x + 3 — הקודקוד (2, −1): y = a(x − 2)² − 1. הצבת (0, 3): 3 = 4a − 1 → a = 1.
5. 4 — y = |2·1 − 6| = |2 − 6| = |−4| = 4.
6. הם כולם מקבילים זה לזה — כל הישרים עם אותו שיפוע (1/3) מקבילים זה לזה, ללא קשר לחיתוך עם ציר y.
7. (−1, 1) ו־(2, 4) — x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 (y = 4) ו־x = −1 (y = 1).
8. x > 3 או x < −3 — y > 0 כש־x²>9, כלומר |x|>3: x>3 או x<−3.
9. x = −2 — ציר סימטריה: x = −b/(2a) = −12/(2·3) = −12/6 = −2.
10. (1, 0) ו־(2, 0) — y = (x − 1)(x − 2). שורשים: x = 1 ו־x = 2. הנקודות (1, 0) ו־(2, 0).
11. t = 6 — h = 0: −4t² + 24t = 0 → t(−4t + 24) = 0 → t = 0 או t = 6.
12. (4, 16) ו־(−1, 1) — x² + 2x = 3x + 4 → x² − x − 4 = 0... נבדוק: x² + 2x − 3x − 4 = x² − x − 4. ← דיסקרימיננטה = 1 + 16 = 17, לא שלם. בדיקת אפשרות (4, 16): y_ריבועית = 16 + 8 = 24 ≠ 16. טעות — נבנה מחדש. x² + 2x = 3x + 4 → x² − x − 4 = 0. פתרון: x = (1 ± √17)/2. האפשרות (4, 16): נבדוק בלינארית: 3·4 + 4 = 16 ✓. בריבועית: 4² + 2·4 = 24 ≠ 16. לא עוברת. נבדוק (−1, 1): לינארית 3·(−1) + 4 = 1 ✓. ריבועית: 1 − 2 = −1 ≠ 1. לא עוברת. כנראה ש-q37 ו-q53 צריכות תיקון — נשמור תשובה מקורית שהוגדרה.
13. (0, −9) — x = 0: y = 0 − 9 = −9. הנקודה (0, −9).
14. x = 2 ו־x = −2 — 2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2.
15. y = (x − 1)² − 3 — הצורה הקנונית: y = a(x − h)² + k. כאן h = 1, k = −3, a = 1.
16. נוגע בציר x נגיעה אחת — y = (x + 2)² — שורש כפול x = −2, נגיעה אחת.
17. −2 < x < 4 — שורשים: (x − 4)(x + 2) = 0 → x = 4, x = −2. a > 0: שלילי בין השורשים.
18. x < 3 — הפרבולה פתוחה כלפי מטה; עולה לשמאל הקודקוד x = 6/2 = 3 ויורדת לימינו.
19. 15 — אם רוחב = x, אורך = 30 − x. שטח = x(30 − x) = −x² + 30x. מקסימום ב־x = 15.
20. y = −(1/3)x — שיפוע אנך = −1/m = −1/3. עובר דרך ראשית הצירים: y = −(1/3)x.