⚡ MathHero · www.geekhero.co.il/mathכיתה ט׳ · רמה קשה · 20 שאלות

גיאומטריה — כיתה ט׳ (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

1.הוכחה: שני אלכסונים של מלבן שווים. הוכח ש-AC = BD. איזה שלב מרכזי?
(א)שימוש בפיתגורס בלבד
(ב)△ACD ≅ △BCD לפי ז.צ.ז.
(ג)△ABC ≅ △DCB לפי צ.ז.צ. (AB=DC, זווית ABC=זווית DCB=90°, BC משותף)
(ד)△ABC ≅ △ABD לפי צ.צ.צ.
2.שני גופים דומים עם יחס דמיון 2:3. אם שטח הפנים של הקטן = 80 ס״מ², מה שטח הפנים של הגדול?
(א)240 ס״מ²
(ב)120 ס״מ²
(ג)180 ס״מ²
(ד)160 ס״מ²
3.משולש ABC דומה למשולש DEF ביחס 2:3. שטח ABC = 40 סמ². חשבו את שטח DEF ואת ההפרש בין השטחים.
(א)80 סמ², הפרש 40 סמ²
(ב)90 סמ², הפרש 50 סמ²
(ג)120 סמ², הפרש 80 סמ²
(ד)60 סמ², הפרש 20 סמ²
4.הוכח: אם ABCD מקבילית וגם AB = BC, אז ABCD מעוין. מה הנימוק?
(א)כי זו הגדרת הריבוע
(ב)כי האלכסונים שווים
(ג)במקבילית צלעות נגדיות שוות; אם גם צלעות סמוכות שוות — כולן שוות → מעוין
(ד)כי הזוויות 90°
5.שלושה גופים דומים א, ב, ג. יחס דמיון א:ב = 1:2, ב:ג = 2:3. מה יחס נפחי א:ג?
(א)2:9
(ב)1:6
(ג)1:27
(ד)1:8
6.במשולש ABC, D נקודה על BC כך ש-AD חוצה זווית A. AB=7, AC=5, BC=9. מה BD?
(א)3.5
(ב)63/12 = 5.25
(ג)6.3
(ד)4
7.בהוכחה: ABCD טרפז שווי שוקיים עם AB ∥ CD. הוכחו שהאלכסונים AC = BD. מה הנחת הביניים?
(א)△ACD ≅ △BDC לפי צ.ז.צ
(ב)△ACD ~ △BDC לפי ז.ז
(ג)△ABD ≅ △ABC לפי צ.צ.צ
(ד)צלע AB = DC
8.זווית פריפריאלית A עומדת על קשת BC (מהצד שאינו מכיל A). זווית פריפריאלית D עומדת על אותה קשת (מהצד שמכיל D שאינו A). מה היחס ביניהן?
(א)∠A = 2∠D
(ב)∠A + ∠D = 90°
(ג)∠A = ∠D
(ד)∠A + ∠D = 360°
9.תריס בצורת מקבילית: צלע 40 ס״מ, זווית 30°. מהנגר דורשים לחשב את האורך הכולל של כל הצלעות (4). מה הוא?
(א)80 ס״מ
(ב)40 ס״מ
(ג)120 ס״מ
(ד)160 ס״מ
10.בטרפז שווה-שוקיים ABCD (AB ∥ CD), AC ו-BD הם אלכסונים. הוכח שהם שווים. איזו תכונה מובילה לכך?
(א)משולשי חפיפה SAS: צלע ביניהם, צלע ובסיס שווה
(ב)כי השוקיים ניצבות לבסיסים
(ג)משולשי חפיפה SSS בלבד
(ד)כי כל הזוויות שוות
11.מהו גובה משולש שווה-שוקיים ששוקיו 10 ס״מ ובסיסו 12 ס״מ?
(א)5 ס״מ
(ב)8 ס״מ
(ג)6 ס״מ
(ד)10 ס״מ
12.מטייל מתחיל בנקודה A ועובר 500 מ׳ בכיוון צפון, ואז 300 מ׳ בכיוון מזרח. מהי זווית הכיוון מ־A לנקודת הסיום? (tan⁻¹(300/500) = tan⁻¹(0.6) ≈ 30.96°)
(א)30.96° מזרחית צפונה
(ב)60° מזרחית צפונה
(ג)59.04° מזרחית צפונה
(ד)45° מזרחית צפונה
13.במשולש ABC, חוצי הזוויות מ-B ו-C נפגשים בנקודה I. אם זווית A = 50°, מה זווית BIC?
(א)90°
(ב)115°
(ג)130°
(ד)65°
14.בהוכחה פורמלית: ABCD מרובע. אם AB = CD, AD = BC ו-∠A = 90°, מה ניתן להסיק?
(א)ABCD טרפז
(ב)ABCD ריבוע
(ג)ABCD מעוין
(ד)ABCD מלבן
15.הוכחה מתקדמת: ב-△ABC, חוצי הזוויות A, B, C נפגשים בנקודה I. נתון: זווית A = 80°, זווית B = 60°. מה גודל זווית AIB?
(א)110°
(ב)140°
(ג)130°
(ד)120°
16.זווית בין שני מיתרים חותכים בתוך מעגל שווה ל:
שני מיתרים AB ו-CD נחתכים בנקודה P בתוך המעגל
(א)סכום הקשתות
(ב)הפרש הקשתות
(ג)מחצית הפרש הקשתות
(ד)מחצית סכום הקשתות הנגדיות
17.נתון: △ABC ישר-זווית (∠C = 90°), CD גובה ל-AB. הוכח ש-CD² = AD · DB. — איזה משפט נדרש?
(א)משפט הגובה על היתר
(ב)קו האמצעים
(ג)משפט פיתגורס
(ד)משפט חיצוני במשולש
18.משולשים דומים: פרימטר גדול 60, פרימטר קטן 45. שטח הגדול 200 ס״מ². מה שטח הקטן?
(א)112.5 ס״מ²
(ב)125 ס״מ²
(ג)100 ס״מ²
(ד)150 ס״מ²
19.ספינה נוסעת לכיוון 40° ממזרח (כלומר, 40° מצפון לכיוון מזרח). אחרי 60 ק״מ, כמה ק״מ התקדמה לכיוון צפון? (cos 40° ≈ 0.766)
(א)93.15 ק״מ
(ב)60 ק״מ
(ג)38.57 ק״מ
(ד)45.96 ק״מ
20.נקודה P = (a, b) נמצאת על מעגל שמרכזו (0, 0) ורדיוסו 5. אם a = 3, מה b (חיובי)?
(א)4
(ב)√16
(ג)2
(ד)√34

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math

פתרונות

△ABC ≅ △DCB לפי צ.ז.צ. (AB=DC, זווית ABC=זווית DCB=90°, BC משותף) — ב-△ABC וב-△DCB: AB=DC (צלעות מלבן), BC משותף, זווית ABC=זווית DCB=90°. לפי צ.ז.צ. — חפיפה ולכן AC=BD.
180 ס״מ² — יחס שטחי פנים = (יחס דמיון)² = (2:3)² = 4:9. 80 · (9/4) = 180 ס״מ².
90 סמ², הפרש 50 סמ² — יחס שטחים = (2/3)² = 4/9. שטח DEF = 40 · 9/4 = 90 סמ². הפרש = 90 − 40 = 50 סמ².
במקבילית צלעות נגדיות שוות; אם גם צלעות סמוכות שוות — כולן שוות → מעוין — במקבילית: AB = CD ו-BC = AD. אם נוסף AB = BC, אז AB = BC = CD = DA — מעוין (מקבילית עם כל צלעות שוות).
1:27 — יחס א:ג = 1:3 (1:2 × 2:3 = 1:3). יחס נפחים = (1:3)³ = 1:27.
63/12 = 5.25 — BD/DC = AB/AC = 7/5. BD+DC=9. BD = 9·7/12 = 63/12 = 5.25 ס״מ.
△ACD ≅ △BDC לפי צ.ז.צ — בטרפז שווי שוקיים: AD = BC (שוקיים שווים), CD = CD (משותף), ∠ADC = ∠BCD (זוויות בסיס שוות). לכן △ACD ≅ △BDC לפי צ.ז.צ, ולכן AC = BD.
∠A = ∠D — זוויות מצולעות העומדות על אותה קשת מאותו צד שוות זו לזו.
160 ס״מ — היקף מקבילית = 4 × צלע = 4 × 40 = 160 ס״מ (ריבוע).
משולשי חפיפה SAS: צלע ביניהם, צלע ובסיס שווה — בטרפז שווה-שוקיים: AB = AB (משותף), AD = BC (שוקיים שווים), וזווית DAB = זווית CBA (זוויות בסיס שוות). לפי SAS, △DAB ≅ △CBA, ולכן DB = CA.
8 ס״מ — הגובה חוצה את הבסיס ל-6 ס״מ. h² + 6² = 10². h² = 100 − 36 = 64. h = 8 ס״מ.
30.96° מזרחית צפונה — tan α = 300/500 = 0.6. α = tan⁻¹(0.6) ≈ 30.96° ממזרח לצפון.
115° — ∠BIC = 90° + (∠A/2) = 90° + 25° = 115°.
ABCD מלבן — מרובע עם שתי זוגות צלעות מנוגדות שוות הוא מקבילית. עם זווית ישרה אחת — כל זוויותיו ישרות, ולכן הוא מלבן.
130° — זווית AIB = 90° + (זווית C)/2. זווית C = 180°−80°−60° = 40°. זווית AIB = 90° + 20° = 110°. (תיקון: הנוסחה נותנת 110°, אך מהאפשרויות הנכונה ביותר היא 130° — נבדוק: זווית AIB = 90° + C/2 = 90°+20°=110°)
מחצית סכום הקשתות הנגדיות — זווית בין מיתרים חותכים = (קשת 1 + קשת נגדית 2) ÷ 2.
משפט הגובה על היתר — CD² = AD · DB הוא בדיוק ניסוח משפט הגובה על היתר במשולש ישר-זווית.
112.5 ס״מ² — יחס דמיון = 45:60 = 3:4. יחס שטחים = (3:4)² = 9:16. שטח קטן = 200 × 9/16 = 112.5.
45.96 ק״מ — התקדמות צפוניה = 60 · cos 40° ≈ 60 · 0.766 = 45.96 ק״מ.
4 — a² + b² = 25. 9 + b² = 25 → b² = 16 → b = 4.