דף עבודה: מספרים שלמים (רמה קשה)

מפתח תשובות

1. 5 — (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) — 6 צמדים. (תיקון: בין 3 ל-50: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) — 6 צמדים.)
2. 120 — המספרים הראשוניים בטווח הם 23, 29, 31, 37. סכומם: 23 + 29 + 31 + 37 = 120. טעות נפוצה: לפספס אחד מהם, למשל 37, ולקבל 83.
3. $-1 < x < 9$ — חילקו את שני האגפים ב-2: $|x-4|<5$. פתחו לטווח כפול: $-5<x-4<5$. הוסיפו 4 לכל האגפים: $-1<x<9$.
4. x=−3 או $x=\frac{1}{3}$ — כש-|A|=|B| מתקיים A=B או A=−B. x−2=2x+1 נותן x=−3. x−2=−(2x+1) נותן 3x=1, כלומר $x=\frac{1}{3}$. בדיקה בשני הפתרונות מאשרת שוויון.
5. 79 — סדר פעולות: קודם חזקות, אחר כך כפל, לבסוף חיסור. (−5)² = 25, (−3)³ = −27, ולכן 2 · (−27) = −54. 25 − (−54) = 79. טעות נפוצה: להחליט ש-(−3)³ חיובי ולקבל 25 − 54 = −29.
6. רציונלי (השווה ל-0) — a + b = √2 + (−√2) = 0. שני האיברים האי-רציונליים מבטלים זה את זה, ו-0 הוא מספר שלם ולכן רציונלי. חשוב לדעת: אין כלל שקובע מה הסיווג של סכום שני מספרים אי-רציונליים — הוא יכול לצאת רציונלי (√2 + (−√2) = 0, וגם (1+√2) + (1−√2) = 2) והוא יכול לצאת אי-רציונלי (√2 + √2 = 2√2). לכן תמיד מחשבים את הסכום ורק אז מסווגים, ולא מניחים מראש.
7. 1 — 7¹⁰ ≡ 1 (mod 11) לפי פרמה הקטן. 7²⁰ = (7¹⁰)² ≡ 1² = 1 (mod 11).
8. 2 — $|3x+2|>8$ פירושו $3x+2>8$ או $3x+2<-8$, כלומר $x>2$ או $x<-10/3$. בדיקה: $-5$ מקיים (כי $-5<-10/3$), $-2$ ו-$1$ אינם מקיימים, $3$ מקיים (כי $3>2$). לכן 2 מספרים מקיימים.
9. 2/3 — (−2/3)² = 4/9 (מעריך זוגי, חיובי). 1/2 · (−4/9) = −2/9. לפי סדר פעולות: 4/9 − (−2/9) = 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3.
10. −3 — ירידה של 3 קומות בגובה 3 מטר כל אחת: 3·(−3) = −9. עלייה של 2 קומות מוסיפה: 2·3 = 6. סך הכול: −9 + 6 = −3. אורי נמצא 3 מטר מתחת לכניסה. מי שקיבל −15 חיבר את שתי התזוזות כירידות במקום להתייחס לעלייה כחיבור.
11. 35 — |−15| = 15; (−2)³ = −8, ו-−8 · 3 = −24; 15 − (−24) = 15 + 24 = 39; 39 + (−4) = 35. טעות נפוצה: להפיל את סימן החזקה ולקבל (−2)³ · 3 = 24 במקום −24.
12. −1 — |−3| = 3, כך שדני מתחיל בקומה −3 (מתחת לכניסה). (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = 4 · (−2) = −8. −8 + 10 = 2 — כך הוא מספר הקומות שהוא עולה. קומה סופית: −3 + 2 = −1. הטעות הנפוצה: לחשב (−2)³ = 8 (ואז 8 + 10 = 18 קומות), או להתחיל מקומה 3 במקום מקומה −3 (3 + 2 = 5).
13. 18 — |−10| = 10; (−2)³ = −8; 10 − (−8) = 10 + 8 = 18.
14. חיובי — a שלילי ו-b חיובי, ולכן a·b שלילי. כדי ש-a·b·c יהיה שלילי, צריך c חיובי (שלילי · חיובי = שלילי).
15. 11 — מחשבים לפי סדר הפעולות: (−3)² = 9 (חזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית), ו-4·5 = 20. בתוך הפס: 9 − 20 = −11. הערך המוחלט הופך את זה לחיובי: |−11| = 11. מי שקיבל 29 שכח שחזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית וחישב (−3)² כ-−9.