מספרים שלמים — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. x = 2 − 5t, y = −1 + 3t — פתרון פרטי: 3·2 + 5·(−1) = 1. הפתרון הכללי: x = 2 − 5t, y = −1 + 3t לכל t שלם.
2. 11 — סוגריים: −3 + 1 = −2; −4 · (−2) = 8; 6 : (−2) = −3; 8 − (−3) = 11.
3. 5 — (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) — 6 צמדים. (תיקון: בין 3 ל-50: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) — 6 צמדים.)
4. 3 — √(√81) = (81^(1/2))^(1/2) = 81^(1/4) = (3⁴)^(1/4) = 3.
5. 1331 — A = 1000 · (1.1)³ = 1000 · 1.331 = 1331.
6. אין פתרון — ערך מוחלט הוא תמיד אי-שלילי, ולכן הוא לעולם לא שווה למספר שלילי. אין פתרון.
7. 100 — לפי משפט וילסון: (p−1)! ≡ −1 (mod p) לכל ראשוני p. לכן 100! ≡ −1 ≡ 100 (mod 101).
8. x > 2/3 או x < −4 — ריבועים: (2x+1)² > (x−3)². פותחים: 4x²+4x+1 > x²−6x+9. מסדרים: 3x²+10x−8 > 0. שורשים: x = 2/3 ו-x = −4. הפתרון: x > 2/3 או x < −4.
9. 1200 מטר — 1500 − 600 = 900 (הצלילה היא ירידה של 600), ואז 900 + 300 = 1200 מטר.
10. 1 — ערך מוחלט שווה לאפס רק כאשר הביטוי בפנים הוא אפס: x − 1 = 0, ולכן x = 1.
11. 38 — (−3)² = 9; 2 · 9 = 18; (−4) · 5 = −20; 18 − (−20) = 18 + 20 = 38.
12. שלילי — חיובי חלקי שלילי נותן תוצאה שלילית (סימנים שונים).
13. x = 2 + 3t, y = 1 + 2t — חלקו ב-2: 2x − 3y = 1. פתרון פרטי: x=2, y=1. הכללי: x = 2+3t, y = 1+2t.
14. x = 2 או x = −2 — |x² − 4| = 0 פירושו x² − 4 = 0, כלומר x² = 4, ולכן x = 2 או x = −2.
15. 1 — זהו משפט פרמה הקטן: אם p ראשוני ו-gcd(a,p)=1, אז aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p).
16. נניח שיש סופית פ.ראשוניים p₁...pₙ — המספר p₁×...×pₙ+1 לא מתחלק באף אחד מהם, סתירה — זוהי ההוכחה של אוקלידס: אם קיימת רשימה סופית של כל הראשוניים, המכפלה שלהם + 1 יוצרת ראשוני חדש — סתירה.
17. −3 — המספר השלם הגדול ביותר שקטן מ-−2.5 הוא −3 (שכן −2 גדול מ-−2.5).
18. −1/3 — ככל ששבר שלילי קרוב יותר לאפס הוא גדול יותר. −1/3 קרוב יותר לאפס מ-−1/2, ולכן −1/3 > −1/2.
19. 7 — בתוך הסוגריים: (−3) · 2 = −6; −6 − (−4) = −6 + 4 = −2. המינוס שבחוץ: −(−2) = 2. ואז 2 + |−5| = 2 + 5 = 7.
20. 13 — √25 = 5; (−2)³ = −8; 5 − (−8) = 5 + 8 = 13.