דף עבודה: הסתברות (רמה קשה)

מתמטיקה · כיתה ט׳ · 15 שאלות

GeekHerowww.geekhero.co.il

1.בהתפלגות בינומית n = 10, p = 0.5. מהו התוחלת (ממוצע)?
(א)5
(ב)0.5
(ג)2.5
(ד)10
2.ועדת תכנון: 3 מהנדסים ו-2 אדריכלים מ-7 מהנדסים ו-5 אדריכלים. כמה דרכים?
(א)105
(ב)350
(ג)700
(ד)210
3.זורקים קובייה. A={1,2,3,4}, B={2,4,6}. מה P(A|B)?
(א)2/3
(ב)3/3
(ג)1/2
(ד)1/3
4.ספרות 1-9, נבחרת ספרה אקראית. A={ספרות זוגיות}, B={ספרות>5}. מה P(A∪B)?
(א)5/9
(ב)7/9
(ג)8/9
(ד)6/9
5.יש שלוש קבוצות: A (30%), B (50%), C (20%). שיעורי הצלחה: A=80%, B=70%, C=60%. תלמיד הצליח — מה ההסתברות שהוא מקבוצה A?
(א)0.332
(ב)0.8
(ג)0.3
(ד)0.5
6.כמה מילים בנות 2 אותיות שונות ניתן לכתוב עם האותיות א, ב, ג, ד?
(א)16
(ב)12
(ג)6
(ד)4
7.P(A)=0.5, P(B)=0.4, A ו-B עצמאיים. מה P(A∪B)?
(א)0.45
(ב)0.7
(ג)0.2
(ד)0.9
8.קוד PIN בן 4 ספרות (0-9), ספרות יכולות לחזור. כמה קודים אפשריים?
(א)10000
(ב)40
(ג)1000
(ד)5040
9.בהתפלגות בינומית n = 6, p = 1/3. מהי ההסתברות לאפס הצלחות?
(א)6 · (1/3)
(ב)1/6
(ג)(1/3)⁶
(ד)(2/3)⁶
10.מהי ההסתברות לקבל לפחות ראש אחד ב-3 הטלות מטבע?
(א)7/8
(ב)5/8
(ג)3/4
(ד)1/2
11.מהו מספר הדרכים לסדר 3 אנשים מתוך 7 (כאשר הסדר חשוב)?
(א)21
(ב)35
(ג)343
(ד)210
12.P(A|B)=P(A). מה ניתן להסיק?
(א)P(B)=0
(ב)P(A)=1
(ג)A ו-B עצמאיים
(ד)A ו-B זרים
13.P(A)=0.4, P(B)=0.6. אם זרים, מה P(A∪B)?
(א)0.76
(ב)0.24
(ג)0.2
(ד)1.0
14.חברה מוכרת פוליסת ביטוח. הסתברות לתביעה בשנה = 5%. סכום התביעה הממוצע = 50,000 ₪. מה הפרמיה המינימלית לכיסוי עלות ממוצעת?
(א)50,000 ₪
(ב)2,500 ₪
(ג)500 ₪
(ד)5,000 ₪
15.זורקים קוביה 3 פעמים. מה ההסתברות לקבל 6 לפחות פעם אחת?
(א)125/216
(ב)1/216
(ג)1/6
(ד)91/216

מפתח תשובות

5 — תוחלת התפלגות בינומית: E = n · p = 10 · 0.5 = 5.
350 — C(7,3) · C(5,2) = 35 · 10 = 350.
2/3 — A∩B={2,4}. P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=(2/6)/(3/6)=2/3.
6/9 — A={2,4,6,8}, B={6,7,8,9}. A∩B={6,8}, כלומר |A∩B|=2. |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|=4+4−2=6. A∪B={2,4,6,7,8,9}. P(A∪B)=6/9=2/3.
0.332 — P(הצלחה) = 0.3·0.8+0.5·0.7+0.2·0.6 = 0.24+0.35+0.12 = 0.71. P(A|הצלחה) = 0.24/0.71 ≈ 0.338 ≈ 0.332.
12 — 4×3=12. (סדר חשוב, ללא חזרה)
0.7 — P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.9-0.2=0.7.
10000 — 10⁴ = 10000. בכל מקום 10 אפשרויות.
(2/3)⁶ — P(X=0) = C(6,0) · (1/3)⁰ · (2/3)⁶ = (2/3)⁶.
7/8 — P(אפס ראשים) = $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$. לפי כלל המשלים: $P(\text{לפחות ראש אחד}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
210 — P(7,3) = 7 · 6 · 5 = 210.
A ו-B עצמאיים — P(A|B)=P(A) הוא הגדרה למאורעות עצמאיים — ידיעת B לא שינתה את הסתברות A.
1.0 — מאורעות זרים: P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.6=1.0.
2,500 ₪ — ערך מצופה = 0.05 × 50,000 = 2,500 ₪.
91/216 — P(לפחות פעם אחת) = 1 − P(אף פעם) = 1 − (5/6)³ = 1 − 125/216 = 91/216.