⚡ MathHero · www.geekhero.co.il/mathכיתה ט׳ · רמה בינוני · 20 שאלות

הסתברות — כיתה ט׳ (בינוני)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

1.חשבו: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B). נתון P(A ∩ B) = 0.12, P(B) = 0.4. מהי P(A|B)?
(א)0.12
(ב)0.3
(ג)0.52
(ד)0.4
2.ועדה מ־8 אנשים, צריך לבחור 3. כמה דרכים?
(א)24
(ב)336
(ג)56
(ד)512
3.בניסוי בינומי עם n=4, p=0.5. מה P(X=2)?
(א)6/16
(ב)3/8
(ג)4/16
(ד)1/4
4.זורקים שתי קוביות. מה ההסתברות שהסכום יהיה 7?
(א)1/9
(ב)1/6
(ג)1/12
(ד)7/36
5.קבוצה של 3 אנשים נבחרת מתוך 5 גברים ו־4 נשים. מה ההסתברות שנבחרות לפחות 2 נשים?
(א)5/14
(ב)5/21
(ג)17/42
(ד)1/21
6.P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, והאירועים זרים (P(A ∩ B) = 0). מה P(A ∪ B)?
(א)0.6
(ב)0.24
(ג)1.0
(ד)0.4
7.כמה מספרים בני 3 ספרות שונות ניתן ליצור מהספרות {1, 2, 3, 4, 5}?
(א)10
(ב)120
(ג)125
(ד)60
8.מהו מספר הדרכים לסדר אותיות המילה LEVEL?
(א)20
(ב)60
(ג)30
(ד)120
9.שקית מכילה 5 כדורים אדומים, 3 ירוקים ו־2 כחולים. מה ההסתברות להוציא כדור שאינו אדום?
(א)1/2
(ב)1/4
(ג)2/2
(ד)7/10
10.בבדיקה רפואית, תוצאה חיובית ניתנת ל-95% מהחולים ול-3% מהבריאים. 10% מהאוכלוסייה חולה. תוצאה חיובית נמצאה — מה ההסתברות שהנבדק חולה? (הערכה מספרית לפי בייס)
(א)כ-50%
(ב)כ-78%
(ג)כ-10%
(ד)כ-95%
11.P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). אם P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.1, מהו P(A ∪ B)?
(א)0.6
(ב)0.8
(ג)0.9
(ד)0.7
12.בקבוצה 5 בנים ו־4 בנות. בוחרים 2 תלמידים. מה הסתברות שנבחרת בדיוק בת אחת?
(א)10/36
(ב)8/72
(ג)20/36
(ד)9/36
13.בדיקת סרטן: רגישות 95%, ספציפיות 90%. שכיחות: 1%. מה ה־PPV?
(א)≈ 1%
(ב)≈ 95%
(ג)≈ 50%
(ד)≈ 8.7%
14.P(A|B) = 0.4, P(B) = 0.5. מהו P(A ∩ B)?
(א)0.1
(ב)0.2
(ג)0.8
(ד)0.9
15.בתיק 5 כדורים אדומים ו-3 כדורים כחולים. שולפים שני כדורים ברצף ללא החזרה. מה ההסתברות שהשניהם אדומים?
(א)1/4
(ב)10/56
(ג)25/64
(ד)5/14
16.P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, A ו־B בלתי תלויים. מה P(A ∩ B)?
(א)0.35
(ב)0.2
(ג)0.15
(ד)0.8
17.מספר בין 1 ל-20 נבחר אקראית. מה ההסתברות שהוא מתחלק ב-3 או ב-5?
(א)9/20
(ב)1/2
(ג)7/20
(ד)11/20
18.נתון: P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A∩B) = 0.2. חשבו P(A∪B).
(א)0.9
(ב)0.7
(ג)0.6
(ד)0.2
19.כמה זוגות (x, y) שונות קיימים כש-x, y ∈ {1,2,3,4,5} ו-x ≠ y?
(א)25
(ב)20
(ג)15
(ד)10
20.מהי נוסחת בייס הבסיסית לחישוב P(A|B)?
(א)P(A)+P(B)−P(A∩B)
(ב)P(A∩B)/P(A)
(ג)P(B|A)·P(A)/P(B)
(ד)P(A)·P(B)

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math

פתרונות

0.3 — P(A|B) = 0.12 / 0.4 = 0.3.
56 — C(8,3) = 8!/(3!·5!) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56.
6/16 — P(X=2) = C(4,2)·(0.5)²·(0.5)² = 6 · (1/4) · (1/4) = 6/16 = 3/8.
1/6 — 6 צירופים נוחים מתוך 36: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1). P = 6/36 = 1/6.
17/42 — סה״כ דרכי הבחירה: $C(9,3) = 84$. \n\n**מקרה 1:** בדיוק 2 נשים ו-1 גבר: $C(4,2) \cdot C(5,1) = 6 \cdot 5 = 30$.\n\n**מקרה 2:** בדיוק 3 נשים: $C(4,3) = 4$.\n\nסה״כ מקרים חיוביים: $30 + 4 = 34$.\n\nההסתברות: $P = \dfrac{34}{84} = \dfrac{17}{42}$.\n\nהמסיחים: $\dfrac{5}{14} = \dfrac{30}{84}$ (רק מקרה 2 נשים, ללא 3 נשים); $\dfrac{1}{21} = \dfrac{4}{84}$ (רק מקרה 3 נשים, ללא 2 נשים); $\dfrac{5}{21} = \dfrac{20}{84}$ (שגיאת חישוב — $C(4,2) \cdot C(5,1) = 4 \cdot 5 = 20$).
1.0 — P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.6 + 0.4 − 0 = 1.0.
60 — P(5,3) = 5 · 4 · 3 = 60. (פרמוטציה ללא חזרה: 5 אפשרויות לספרה הראשונה, 4 לשנייה, 3 לשלישית.)
30 — LEVEL: 5 אותיות, L מופיע 2 פעמים, E מופיע 2 פעמים. מספר הסידורים: 5!/(2!·2!) = 120/4 = 30.
1/2 — לא-אדום: 3 + 2 = 5 מתוך 10. P = 5/10 = 1/2.
כ-78% — P(חיובי|חולה)=0.95, P(חולה)=0.1; P(חיובי|בריא)=0.03, P(בריא)=0.9. P(חיובי)=0.95·0.1+0.03·0.9=0.095+0.027=0.122. P(חולה|חיובי)=0.095/0.122≈0.779≈78%.
0.8 — P(A ∪ B) = 0.5 + 0.4 − 0.1 = 0.8.
20/36 — $C(4,1) \cdot C(5,1) / C(9,2) = 4 \cdot 5 / 36 = 20/36 = 5/9$. מספר הדרכים לבחור 2 תלמידים מתוך 9: $C(9,2) = 36$. מספר הדרכים לבחור בדיוק בת אחת (בת מתוך 4 ובן מתוך 5): $C(4,1) \cdot C(5,1) = 4 \cdot 5 = 20$. ולכן ההסתברות היא $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.
≈ 8.7% — P(חולה|+) = (0.95·0.01)/[(0.95·0.01)+(0.10·0.99)] ≈ 0.0095/0.1090 ≈ 8.7%.
0.2 — P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B) = 0.4 · 0.5 = 0.2.
5/14 — P = (5/8) · (4/7) = 20/56 = 5/14.
0.15 — לאירועים בלתי תלויים: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0.5 · 0.3 = 0.15.
9/20 — מתחלקים ב-3: {3,6,9,12,15,18} — 6. ב-5: {5,10,15,20} — 4. ב-15: {15} — 1. חיבור-הכלה: 6+4−1 = 9. הסתברות: 9/20.
0.7 — P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7.
20 — P(5,2) = 5 · 4 = 20 (סדר חשוב).
P(B|A)·P(A)/P(B) — נוסחת בייס: P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B). היא מאפשרת לעדכן הסתברות לאור מידע חדש.