חזרה למבחן — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 1/(x + 3) — x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). מצמצמים (x + 2): נשאר 1/(x + 3).
2. 15 מ׳ — 2L + 2W = 60, L + W = 30. שטח = L·W = (30−W)·W. מקסימום כש־W = 15.
3. x − 2 — x² − 4 = (x−2)(x+2). מחלקים ב־(x+2): x − 2.
4. 750 ש״ח — a₁ = 500, d = 50. a₆ = 500 + 5 × 50 = 500 + 250 = 750 ש״ח.
5. 972 ס״מ³ — בסיס = 24−6 = 18 ס״מ. גובה = 3. נפח = 18² × 3 = 324 × 3 = 972 ס״מ³.
6. (4/52) · (3/51) — הסתברות לאס ראשון: 4/52. שני: 3/51. ביחד: (4/52) · (3/51) = 12/2652 = 1/221.
7. 10√3 מ׳ — tan(30°) = גובה/צל = 10/צל. צל = 10/tan(30°) = 10/(1/√3) = 10√3.
8. x = 2 ו־x = −2 — x⁴ = 16. x² = 4 (או x² = −4, אין פתרון ממשי). מ־x² = 4: x = ±2.
9. 110° — במקבילית, זוויות סמוכות משלימות ל־180°. B = 180° − 70° = 110°.
10. ¬A ∨ B — ¬(A ∧ ¬B) = ¬A ∨ ¬(¬B) = ¬A ∨ B לפי דה-מורגן ושלילת כפולה.
11. שוות — זוויות מתחלפות הנוצרות בין ישרות מקבילות שוות זו לזו.
12. 30 — שטח טרפז = (AB + CD)/2 × h = (8 + 4)/2 × 5 = 6 × 5 = 30.
13. 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2 — הנחת האינדוקציה: מניחים שהטענה נכונה עבור n = k. כלומר: 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2.
14. 15 מ׳ — אם אורך = x, רוחב = 30 − x. שטח = x(30−x). מקסימום ב-x = 15 (ריבוע).
15. 10 ס״מ — OA הוא רדיוס. אם OA ⊥ AB, אזי OA = AB = 10 כי OA הוא הרדיוס וגם שווה ל-AB רק כאשר A על העיגול. OA = r = 10 ס״מ.
16. דני אינו בריא — ניתן כ-P → Q ו-¬Q. לפי modus tollens: ¬P. 'בריא → מאושר' ו-'דני לא מאושר' → 'דני לא בריא'.
17. x = 2 או x = 3 — נפרק: (x − 2)(x − 3) = 0. לכן x = 2 או x = 3.
18. 165 — Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = 10(3 + 30)/2 = 10 × 33/2 = 165.
19. 510 ק״מ — מרחק 1: 2 · 90 = 180 ק״מ. מרחק 2: 3 · 110 = 330 ק״מ. סה״כ: 510 ק״מ.
20. לא, כי Δ < 0 — Δ = 4 − 20 = −16 < 0. אין חיתוך עם ציר x.