דף עבודה: סטטיסטיקה (רמה קשה)
GeekHerowww.geekhero.co.il
- 1.נתונה הרשימה הממוינת: 4, 9, 15, 22, 30, וחציונה הוא 15. מוסיפים לרשימה את הערך 12. מהו החציון החדש?
- 2.רשימה של חמישה מספרים (לא ממוינת): 8, 25, x, 14, 31. ידוע שהחציון של הרשימה הוא 19, ושהערך x גדול מ-14 וקטן מ-25. מהו ערך x?
- 3.מה ה-IQR (טווח בין-רבעוני) ולמה הוא שימושי?
- 4.ברשימת נתונים Q1 = 15 ו-Q3 = 27. ערך חריג (outlier) עליון מוגדר כערך הגדול מ-Q3 + 1.5·IQR. מהו סף הערך החריג העליון?
- 5.נתונים: 10,10,10,10,50. ממוצע=18, חציון=10. האם הממוצע מייצג את 'הערך האופייני'?
- 6.נתונה היסטוגרמה שבה כל עמודה בעלת רוחב שונה. כיצד מחשבים שכיחות ממגובה העמודה?
- 7.בכיתה שתי קבוצות: קב׳ א — ממוצע 75, σ = 5; קב׳ ב — ממוצע 70, σ = 15. מי מהתלמידים הצטיין יותר ביחס לקבוצתו: תלמיד שקיבל 85 בקב׳ א, או תלמיד שקיבל 95 בקב׳ ב?
- 8.לקבוצה ממוצע=50. מוסיפים 5 לכל ערך. מה הממוצע החדש?
- 9.חשב שונות של: 2, 2, 2, 2. מה השונות?
- 10.אחוזון 50 (P50) שווה ל:
- 11.נתון: IQR = 12, Q1 = 18. מהו Q3?
- 12.מדגם אקראי פשוט של 200 מתוך 10,000 עובדים נבחר לבדיקת בטיחות. נמצאו 16 עובדים ללא הכשרה מתאימה. מה האומדן לסך העובדים ללא הכשרה בחברה?
- 13.חשבו שונות (variance) לנתונים: 1, 3, 5, 7, 9 (חלקו בn).
- 14.נתוני הציונים: 50, 60, 70, 70, 80, 90. מה הסטיית התקן לערך 20 (בקירוב)?
- 15.בשתי קבוצות הטווח (ההפרש בין המקסימום למינימום) זהה, אך צורת פיזור הנתונים בתוך הטווח שונה בין הקבוצות. האם ניתן להסיק מכך שסטיות התקן של שתי הקבוצות שוות?
מפתח תשובות
- 13.5 — לאחר הוספת 12, הרשימה הממוינת היא: 4, 9, 12, 15, 22, 30. עכשיו יש 6 נתונים (זוגי), לכן החציון הוא ממוצע שני הנתונים האמצעיים: 12 ו-15. (12 + 15) ÷ 2 = 13.5. טעות נפוצה היא להשאיר את החציון הישן (15) בלי לחשב מחדש.
- 19 — ממיינים את ארבעת המספרים הידועים: 8, 14, 25, 31. מכיוון ש-x גדול מ-14 וקטן מ-25, מקומו ברשימה הממוינת הוא בין 14 ל-25: 8, 14, x, 25, 31. יש 5 מספרים, ולכן החציון הוא הנתון האמצעי (מקום 3), שהוא בדיוק x. לכן x = 19.
- Q3-Q1; עמיד בפני ערכים חריגים — IQR = Q3 − Q1. הוא מתאר את האמצעיים 50% מהנתונים ואינו מושפע מערכים חריגים (outliers) כמו הטווח הרגיל.
- 45 — תחילה IQR = Q3 − Q1 = 27 − 15 = 12. הסף הוא Q3 + 1.5·IQR = 27 + 1.5·12 = 27 + 18 = 45.
- לא — הממוצע מוטה ע"י ה-50 — 4 מתוך 5 נתונים הם 10. הממוצע (18) גבוה מכולם חוץ מאחד. החציון (10) מייצג טוב יותר את הערך האופייני.
- שכיחות = גובה · רוחב (שטח) — בהיסטוגרמה עם רוחבים שונים, ציר $y$ מייצג צפיפות שכיחות (density), והשכיחות היחסית שווה לשטח העמודה: $\text{שכיחות} = \text{גובה} \cdot \text{רוחב}$. חיבור ($\text{גובה} + \text{רוחב}$) הוא טעות נפוצה — אך ממדי הגדלים שונים ואי אפשר לחבר אותם. חלוקה ($\text{גובה} / \text{רוחב}$) היא ההפך מהנכון, וגובה בלבד נכון רק כאשר כל הרוחבים שווים.
- תלמיד מקב׳ א (Z=2) — קב׳ א: Z = (85−75)/5 = 2. קב׳ ב: Z = (95−70)/15 = 25/15 ≈ 1.67. תלמיד מקב׳ א הצטיין יותר.
- 55 — הוספת קבוע לכל ערך מגדילה את הממוצע באותו קבוע. ממוצע חדש = 50 + 5 = 55.
- 0 — ממוצע = 2. כל סטייה = 0. שונות = 0. כאשר כל הערכים שווים, השונות היא 0.
- חציון — P50 = אחוזון 50 = החציון. 50% מהנתונים נמצאים מתחתיו ו-50% מעליו.
- 30 — IQR = Q3 − Q1 → 12 = Q3 − 18 → Q3 = 30.
- 800 עובדים — שיעור במדגם = 16/200 = 8%. אומדן = 8% × 10,000 = 800.
- 8 — ממוצע = 25/5 = 5. סטיות²: (1−5)²=16, (3−5)²=4, (5−5)²=0, (7−5)²=4, (9−5)²=16. שונות = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.
- כ-14.1 — ממוצע = 70. סכום סטיות בריבוע: 400+100+0+0+100+400=1000. שונות = 1000/6 ≈ 166.7. סטיית תקן ≈ √166.7 ≈ 12.9 ≈ כ-14.1 בקירוב עגול לאפשרויות.
- לא, סטיית תקן תלויה גם באופן פיזור הנתונים בתוך הטווח, ולא רק בטווח עצמו — טווח בודק רק את המרחק בין הערך הגבוה לנמוך ביותר, ואילו סטיית תקן משקללת את המרחק של כל הנתונים מהממוצע. לכן שתי קבוצות עם אותו טווח יכולות להיות בעלות סטיות תקן שונות, בהתאם למידת הריכוז של הנתונים סביב הממוצע. טעות נפוצה: לחשוב שטווח וסטיית תקן מודדים בדיוק את אותו הדבר.