פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 0 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 4x = 0$. פירוק לגורמים: $x(x - 4) = 0$, ומכאן $x = 0$ או $x = 4$.
2. 12 — נציב $x = -2: f(-2) = 2 \cdot (-2)^{2} + -3 \cdot (-2) + -2 = 8 + 6 + -2 = 12$.
3. 6 — מציבים $f(x)=12$: $-x^2+6x+7=12$, כלומר $-x^2+6x-5=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-6x+5=0$, ומפרקים: $(x-1)(x-5)=0$, ולכן $x=1$ או $x=5$. שני הערכים חיוביים והגיוניים (תחום התנועה של החץ הוא בין $x=0$ ל-$x=7$, נקודת הנחיתה). סכום שני המרחקים: $1+5=6$.
4. כלפי מעלה (יש מינימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = 3$ חיובי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ויש לה מינימום.
5. $(0, 7)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$. הנקודה: $(0, 7)$.
6. 1 ו-5 שניות — מציבים $f(t)=25$: $-5t^2+30t=25$, כלומר $-5t^2+30t-25=0$. מחלקים ב-$-5$: $t^2-6t+5=0$, ומפרקים: $(t-1)(t-5)=0$, ולכן $t=1$ או $t=5$. שני הזמנים תקפים (תחום התנועה $t\in[0,6]$, שכן $f(t)=0$ ב-$t=0$ וב-$t=6$): האבן נמצאת בגובה 25 מטרים פעם אחת בעלייה (לאחר שנייה) ופעם אחת בירידה (לאחר 5 שניות).
7. $y = -3x + 5$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{2 - -1}{1 - 2} = -3$. נציב נקודה: $b = -1 - (-3)(2) = 5$. המשוואה: $y = -3x + 5$.
8. 8 — בפרבולה, כל שתי נקודות באותו גובה (שאינן קודקוד) הן סימטריות ביחס לציר הסימטריה. המרחק בין $x=2$ לציר הסימטריה $x=5$ הוא $5-2=3$. הנקודה הנוספת נמצאת באותו מרחק מציר הסימטריה אך בכיוון ההפוך: $5+3=8$. לכן בנקודה $x=8$ הגובה יהיה גם הוא 9 מטרים.
9. $x = 0$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
10. 11 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - -5}{-1 - -2} = \frac{11}{1} = 11$.
11. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -2$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
12. $(0, -4)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + -4 = -4$. הנקודה: $(0, -4)$.
13. $y = -5x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{1 - -4}{-1 - 0} = -5$. נציב נקודה: $b = -4 - (-5)(0) = -4$. המשוואה: $y = -5x - 4$.
14. $y = 5x + 5$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -5}{0 - -2} = 5$. נציב נקודה: $b = -5 - (5)(-2) = 5$. המשוואה: $y = 5x + 5$.
15. $y = -2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -1}{3 - 1} = -2$. נציב נקודה: $b = -1 - (-2)(1) = 1$. המשוואה: $y = -2x + 1$.
16. $(4, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = -2x + 8$, ומכאן $x = 4$. הנקודה היא $(4, 0)$.
17. $y = x - 2$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $1 = 1 \cdot (3) + b$, ומכאן $b = -2$. לכן המשוואה: $y = x - 2$.
18. $(1, -2)$ — משווים: $-1x + -1 = -2x + 0$. מכאן $1x = 1$, אז $x = 1$. נציב: $y = -1 \cdot (1) + -1 = -2$. נקודת החיתוך: $(1, -2)$.
19. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-2 - 5}{5 - -2} = -\frac{7}{7} = -1$.
20. 2 — נציב $x = 1: f(1) = -2 \cdot (1)^{2} + 1 \cdot (1) + 3 = -2 + 1 + 3 = 2$.
21. שיפוע −1, חיתוך עם y ב-−1 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -1$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -1$.
22. $(-1, -4)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + -3 = -4$. הקודקוד: $(-1, -4)$.
23. $y = -6x - 7$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -1}{-2 - -1} = -6$. נציב נקודה: $b = -1 - (-6)(-1) = -7$. המשוואה: $y = -6x - 7$.
24. לאחר 6 מטרים — נקודות החיתוך עם ציר $x$ מתקבלות מהצבת $f(x)=0$: $-x^2+6x=0$, כלומר $-x(x-6)=0$, ולכן $x=0$ או $x=6$. הפתרון $x=0$ מייצג את נקודת הבעיטה עצמה (תחילת התנועה) ואינו רלוונטי לשאלת הנחיתה. הפתרון $x=6$ הוא נקודת החיתוך השנייה, המייצגת את המרחק שבו הכדור נוגע שוב בקרקע — כלומר, הכדור נוחת לאחר 6 מטרים.
25. $x = -1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
26. $(0, 1)$ — משווים: $-1x + 1 = 3x + 1$. מכאן $-4x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -1 \cdot (0) + 1 = 1$. נקודת החיתוך: $(0, 1)$.
27. $(3, 11)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -1} = 3$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (3)^{2} + 6 \cdot (3) + 2 = 11$. הקודקוד: $(3, 11)$.
28. הכדור מתחיל את תנועתו מגובה הקרקע (0 מטר) — הצבת $t=0$ נותנת $f(0)=-5(0)^2+20(0)=0$, כך שנקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ היא $(0,0)$. משמעות הדבר היא שברגע הזריקה ($t=0$) הכדור נמצא בגובה 0, כלומר על הקרקע — זו נקודת ההתחלה של התנועה, ולא נקודת המקסימום או הנחיתה בסוף המסלול.
29. 50 מטר, בזמן 5 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -20/(2 \cdot (-2)) = 5$ שניות. הגובה: $h(5) = 50$ מטר.
30. $(2, 2)$ — נציב $x = 2: y = 3 \cdot (2) + -4 = 2$. לכן הנקודה $(2, 2)$ נמצאת על הישר.
31. נקודת המקסימום זזה ימינה (למרחק $x$ גדול יותר) והגובה המקסימלי גדל — שיעור ה-$x$ של הקודקוד הוא $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2\cdot(-1)}=\frac{b}{2}$. כאשר $b$ (חיובי) גדל, $\frac{b}{2}$ גדל, כלומר הקודקוד זז ימינה. הגובה בקודקוד הוא $f\left(\frac{b}{2}\right)=-\left(\frac{b}{2}\right)^2+b\cdot\frac{b}{2}+c=\frac{b^2}{4}+c$, וגם ביטוי זה גדל ככל ש-$b$ גדל. לכן שתי התכונות — מיקום המקסימום וגובהו — גדלות יחד.
32. שיפוע −2, חיתוך עם y ב-−8 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -8$.
33. $(0, 0)$ — נציב $x = 0: y = 2 \cdot (0) + 0 = 0$. לכן הנקודה $(0, 0)$ נמצאת על הישר.
34. $y = -4x - 16$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -4$ ואת הנקודה: $0 = -4 \cdot (-4) + b$, ומכאן $b = -16$. לכן המשוואה: $y = -4x - 16$.
35. −3 — נציב $x = -1: f(-1) = -2 \cdot (-1)^{2} + 1 \cdot (-1) + 0 = -2 + -1 + 0 = -3$.