פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 6 — מציבים $f(x)=12$: $-x^2+6x+7=12$, כלומר $-x^2+6x-5=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-6x+5=0$, ומפרקים: $(x-1)(x-5)=0$, ולכן $x=1$ או $x=5$. שני הערכים חיוביים והגיוניים (תחום התנועה של החץ הוא בין $x=0$ ל-$x=7$, נקודת הנחיתה). סכום שני המרחקים: $1+5=6$.
2. $y = x + 1$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $3 = 1 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = 1$. לכן המשוואה: $y = x + 1$.
3. 16 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -8/(2 \cdot (-1)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 16$ מטר.
4. $y = -2x - 9$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (-2) + b$, ומכאן $b = -9$. לכן המשוואה: $y = -2x - 9$.
5. הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק קטן יותר מהכדור לפי $g$ — מרחק המקסימום מתקבל מנוסחת שיעור ה-$x$ של קודקוד הפרבולה $x=-\frac{b}{2a}$. עבור $f$: $a=-2,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. עבור $g$: $a=-1,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4$. מכיוון ש-$2<4$, הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק אופקי קטן יותר. (בנוסף, $f(2)=11$ בעוד $g(4)=19$, כך שהגובה המקסימלי של $f$ דווקא קטן יותר — כך שהטענה השלישית שגויה.)
6. $(0, 9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -1 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 9 = 9$. הנקודה: $(0, 9)$.
7. 450 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 90 \times 5 = 450$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
8. $(-4, -11)$ — משווים: $2x + -3 = 3x + 1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = 2 \cdot (-4) + -3 = -11$. נקודת החיתוך: $(-4, -11)$.
9. $(0, -1)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -1 = -1$. הנקודה היא $(0, -1)$.
10. $(0, 7)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$. הנקודה: $(0, 7)$.
11. שיפוע −1, חיתוך עם y ב-−5 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -1$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -5$.
12. $(6, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 2x + -12$, ומכאן $x = 6$. הנקודה היא $(6, 0)$.
13. 32 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -16/(2 \cdot (-2)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 32$ מטר.
14. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
15. −2 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא −2, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא −2.
16. 4.5 מטרים — מציבים $x=2$: $h(2)=-2^2+4\cdot2+0.5=-4+8+0.5=4.5$.
17. $(-3, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 9$, ומכאן $x = -3$. הנקודה היא $(-3, 0)$.
18. 200 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 40 \times 5 = 200$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
19. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-2 - 5}{5 - -2} = -\frac{7}{7} = -1$.
20. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
21. x < −3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -3$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −3.
22. $(-2, 3)$ — משווים: $-1x + 1 = 1x + 5$. מכאן $-2x = 4$, אז $x = -2$. נציב: $y = -1 \cdot (-2) + 1 = 3$. נקודת החיתוך: $(-2, 3)$.
23. 8 — בפרבולה, כל שתי נקודות באותו גובה (שאינן קודקוד) הן סימטריות ביחס לציר הסימטריה. המרחק בין $x=2$ לציר הסימטריה $x=5$ הוא $5-2=3$. הנקודה הנוספת נמצאת באותו מרחק מציר הסימטריה אך בכיוון ההפוך: $5+3=8$. לכן בנקודה $x=8$ הגובה יהיה גם הוא 9 מטרים.
24. 4 מטרים — מציבים $f(x)=7$: $-x^2+2x+15=7$, כלומר $-x^2+2x+8=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-2x-8=0$, ומפרקים: $(x-4)(x+2)=0$, ולכן $x=4$ או $x=-2$. מכיוון ש-$x$ מייצג מרחק אופקי מנקודת ההמראה, ולכן חייב לקיים $x\ge0$, הפתרון $x=-2$ נפסל כלא הגיוני פיזיקלית. הפתרון היחיד המתקבל הוא $x=4$.
25. $x = 2 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 6x + 8 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 4)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 4$.
26. שיפוע 2, חיתוך עם y ב-−1 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = 2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -1$.
27. $(0, 5)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + -5 \cdot 0 + 5 = 5$. הנקודה: $(0, 5)$.
28. שיפוע 2, חיתוך עם y ב-−6 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = 2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -6$.
29. 6 יחידות, רווח 42 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 6$ יחידות. הרווח: $R(6) = 42$ ש"ח.
30. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 80 \times 3 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
31. $(0, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -4 \cdot 0 + 0 = 0$. הנקודה היא $(0, 0)$.
32. 3 יחידות, רווח 26 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 26$ ש"ח.
33. $x = -1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
34. $y = 4x - 3$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 4$ ואת הנקודה: $5 = 4 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -3$. לכן המשוואה: $y = 4x - 3$.
35. 30 אלף ₪ — ערך ה-x של הקודקוד: $x=-\dfrac{10}{2\cdot(-1)}=5$. הרווח המקסימלי: $P(5)=-5^2+10\cdot5+5=-25+50+5=30$.