פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(1, -8)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (1)^{2} + -4 \cdot (1) + -6 = -8$. הקודקוד: $(1, -8)$.
2. $y = -x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-1 - 5}{2 - -4} = -1$. נציב נקודה: $b = 5 - (-1)(-4) = 1$. המשוואה: $y = -x + 1$.
3. 200 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 40 \times 5 = 200$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
4. 4 מטרים — מציבים $f(x)=7$: $-x^2+2x+15=7$, כלומר $-x^2+2x+8=0$. מחלקים ב-$-1$: $x^2-2x-8=0$, ומפרקים: $(x-4)(x+2)=0$, ולכן $x=4$ או $x=-2$. מכיוון ש-$x$ מייצג מרחק אופקי מנקודת ההמראה, ולכן חייב לקיים $x\ge0$, הפתרון $x=-2$ נפסל כלא הגיוני פיזיקלית. הפתרון היחיד המתקבל הוא $x=4$.
5. $(0, 0)$ — נציב $x = 0: y = 2 \cdot (0) + 0 = 0$. לכן הנקודה $(0, 0)$ נמצאת על הישר.
6. 0<x<4 — מכיוון ש-$a=0.25>0$ הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד ב-$x=-\dfrac{-2}{2\cdot0.25}=4$. הפונקציה יורדת עד הקודקוד, כלומר בתחום $0<x<4$, ועולה אחריו.
7. $y = 2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - 1}{-3 - 0} = 2$. נציב נקודה: $b = 1 - (2)(0) = 1$. המשוואה: $y = 2x + 1$.
8. $(0, 5)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + -5 \cdot 0 + 5 = 5$. הנקודה: $(0, 5)$.
9. $(-1, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + 6 = 5$. הקודקוד: $(-1, 5)$.
10. שיפוע −2, חיתוך עם y ב-−8 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -8$.
11. $(0, 6)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -1 \cdot 0 + 6 = 6$. הנקודה היא $(0, 6)$.
12. כלפי מעלה (יש מינימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = 3$ חיובי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ויש לה מינימום.
13. 3 יחידות, רווח 9 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 9$ ש"ח.
14. 4 מטר, בזמן 2 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$ שניות. הגובה: $h(2) = 4$ מטר.
15. 50 מטר, בזמן 5 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -20/(2 \cdot (-2)) = 5$ שניות. הגובה: $h(5) = 50$ מטר.
16. $(-2, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = -2$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (-2)^{2} + -4 \cdot (-2) + 1 = 5$. הקודקוד: $(-2, 5)$.
17. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 80 \times 3 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
18. $(0, 5)$ — משווים: $1x + 5 = 3x + 5$. מכאן $-2x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot (0) + 5 = 5$. נקודת החיתוך: $(0, 5)$.
19. −2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{5 - -1}{1 - 4} = 6 / -3 = -2$.
20. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
21. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$.
22. הכדור מתחיל את תנועתו מגובה הקרקע (0 מטר) — הצבת $t=0$ נותנת $f(0)=-5(0)^2+20(0)=0$, כך שנקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ היא $(0,0)$. משמעות הדבר היא שברגע הזריקה ($t=0$) הכדור נמצא בגובה 0, כלומר על הקרקע — זו נקודת ההתחלה של התנועה, ולא נקודת המקסימום או הנחיתה בסוף המסלול.
23. 4.5 מטרים — מציבים $x=2$: $h(2)=-2^2+4\cdot2+0.5=-4+8+0.5=4.5$.
24. שיפוע 2, חיתוך עם y ב-−6 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = 2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -6$.
25. $(4, 3)$ — נציב $x = 4: y = 1 \cdot (4) + -1 = 3$. לכן הנקודה $(4, 3)$ נמצאת על הישר.
26. 6 יחידות, רווח 42 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 6$ יחידות. הרווח: $R(6) = 42$ ש"ח.
27. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
28. x < −1 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -1$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −1.
29. $(3, 8)$ — משווים: $3x + -1 = 1x + 5$. מכאן $2x = 6$, אז $x = 3$. נציב: $y = 3 \cdot (3) + -1 = 8$. נקודת החיתוך: $(3, 8)$.
30. $x = -6 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 36 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 6)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 6$.
31. −6 — נציב $x = -1: f(-1) = -1 \cdot (-1)^{2} + 3 \cdot (-1) + -2 = -1 + -3 + -2 = -6$.
32. $y = x - 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-2 - -3}{-1 - -2} = 1$. נציב נקודה: $b = -3 - (1)(-2) = -1$. המשוואה: $y = x - 1$.
33. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-3 - -5}{0 - 2} = 2 / -2 = -1$.
34. 3 יחידות, רווח 16 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 16$ ש"ח.
35. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 60 \times 4 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.