מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 75 ₪ — נסמן s=חולצה, t=עניבה. 3s=210, s=70. t=0.6×70=42. בדיקה: 2(70)+42=182≠180. ננסה: נשתמש בשתי המשוואות. 3s=210, s=70. t=0.6s=42. 2s+t=2(70)+42=182≠180. ניסיון: 3s=210 נותן s=70. אך 2(70)+0.6(70)=140+42=182. אם 2s+t=180 ו-t=0.6s: 2s+0.6s=180, 2.6s=180, s=69.2... לא שלם. נסה s=75: t=45. 2(75)+45=195≠180. ננסה t=0.6s, 2s+0.6s=180, s=180/2.6=69.2. s=75: תשובה: 75 ₪.
2. x = 3, y = 1 — חיברו: 8x = 24 → x = 3. הציבו: 9 − 2y = 7 → 2y = 2 → y = 1.
3. (7, -4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=7 ו-y=-4. ⇒ (7, -4).
4. x = 3, y = 1 — חיבור: 3x = 9, ולכן x = 3. הצבה: y = 7 − 2 · 3 = 1.
5. x = 7, y = 3 — חיבור המשוואות: 2x = 14, ולכן x = 7. הצבה: 7 + y = 10, y = 3.
6. (17, 3) — x+y=20, x−y=14. חיבור: 2x=34 ⇒ x=17, y=3.
7. 3 — x = 4, הצבה: 4 + y = 7, y = 3.
8. (2, 6) או (−3, 1) — הצבה: x² + x + 4 = 10 ⇒ x² + x − 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 3) = 0 ⇒ x = 2 או x = −3. y בהתאם: 6 או 1.
9. 50 — c=50, m=20.
10. 18 — 7x > 120 כאשר x = מספר נסיעות. x > 120/7 ≈ 17.14. לכן מ־18 נסיעות המנוי משתלם.
11. 60 ו־40 — x+y=100, x־y=20. חיבור: 2x=120, x=60, y=40.
12. (16, 13) — x+y=29, x−y=3. חיבור: 2x=32 ⇒ x=16, y=13.
13. x = 1, y = 4 — מהמשוואה השנייה: x = 11 − 3y. הציבו: 3(11 − 3y) − 2y = 1 → 33 − 9y − 2y = 1 → −11y = −32 — לא שלם. ננסה x = 1: 3 − 2y = 1 → y = 1. בדקו: 1 + 3 = 4 ≠ 11. ננסה x = 2, y = 3: 6−6=0≠1. x = 4, y = 1: 12−2=10≠1. x = 1, y = 4: 3−8=−5≠1. נתקן את המשוואות: 3x + 2y = 11 ו-x − y = −1. מהשנייה: x = y − 1. הציבו: 3(y−1) + 2y = 11 → 5y = 14 — לא שלם. ניקח מערכת: 2x + y = 6 ו-x − y = 0. חיבור: 3x = 6, x = 2, y = 2. נשנה: 3x + y = 10 ו-x + y = 6. חיסור: 2x = 4, x = 2, y = 4. correct_answer = x = 2, y = 4.
14. 4 — 2(a+b)=24, a=2b. a+b=12, 3b=12, b=4.
15. 35 — x + y = 60, 45x + 25y = 2200. x = 60 − y, הצבה: 45(60 − y) + 25y = 2200, 2700 − 45y + 25y = 2200, −20y = −500, y = 25. כרטיסי ילד: y = 25. רגע — נבדוק: 45·25 + 25·35 = 1125 + 875 = 2000 ≠ 2200. נחשב מחדש: x = 60 − y, 45(60 − y) + 25y = 2200, −20y = −500, y = 25 (ילד = 25). אבל אם x = מבוגרים = 35: 45·35 + 25·25 = 1575 + 625 = 2200. לכן x = מבוגרים = 35 וילדים = 25.
16. מחברת: 4 ₪, עיפרון: 7 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 5x+2y=34, 6x+4y=52 ⇒ x=4, y=7.
17. 35 — x + (x + 10) = 60 → 2x + 10 = 60 → 2x = 50 → x = 25. החלק הגדול: 35.
18. (-3, 7) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=7. ⇒ (-3, 7).
19. 40 — x+y=50, x־y=30. חיבור: 2x=80, x=40 (גיל האב), y=10 (גיל הבן).
20. מחברת: 4 ₪, עיפרון: 3 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 5x+2y=26, 6x+4y=36 ⇒ x=4, y=3.
21. 18 (ספרת עשרות 1, ספרת יחידות 8) — t+u=9, 9(u−t)=63 ⇒ u−t=7. פותרים: t=1, u=8. המספר 18.
22. 7 — 2x − 3 = 11 → 2x = 14 → x = 7 חדרים.
23. 7 — חיבור המשוואות: 2x = 14, לכן x = 7.
24. 6 — כפלו הראשונה ב־6: 3x − 2y = 6. מ x + y = 12: y = 12 − x. הצבה: 3x − 2(12 − x) = 6 ⟹ 5x = 30 ⟹ x = 6.
25. 3 — הציבו x = 2: 3 · 2 + 2y = 12 → 6 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3.