שאלון 35172אשכול התמצאות במישור ובמרחב23 נקודות · ברמת הבחינה
לקראת אירוע חברה, מזמינים קופסאות קרטון לאריזת מתנות בצורת תיבה. מידות התיבה הן: אורך 6 ס"מ, רוחב 4 ס"מ וגובה 3 ס"מ. את התיבה בונים מפריסה שטוחה — גזרת קרטון אחת שמתקפלת לתיבה סגורה. הפריסה מורכבת משישה מלבנים: שני מלבנים בגודל 6×4 ס"מ (הבסיס התחתון והבסיס העליון של התיבה), שני מלבנים בגודל 6×3 ס"מ (הדופן הקדמית והדופן האחורית), ושני מלבנים בגודל 4×3 ס"מ (שתי הדפנות הצדדיות).
א.מצאו את שטח כל אחד משלושת סוגי המלבנים המרכיבים את הפריסה: המלבן בגודל 6×4, המלבן בגודל 6×3, והמלבן בגודל 4×3.
4 נק׳הציגו פתרון
- שטח המלבן בגודל 6×4: 6·4 = 24 סמ"ר.
- שטח המלבן בגודל 6×3: 6·3 = 18 סמ"ר.
- שטח המלבן בגודל 4×3: 4·3 = 12 סמ"ר.
תשובה: 24 סמ"ר, 18 סמ"ר, 12 סמ"ר בהתאמה
ב.חשבו את שטח הפנים הכולל של התיבה (סכום שטחי כל ששת המלבנים בפריסה).
5 נק׳הציגו פתרון
- בפריסה יש שני מלבנים מכל סוג, לכן שטח הפנים הכולל הוא 2·(24+18+12).
- מחשבים: 2·54 = 108 סמ"ר.
תשובה: 108 סמ"ר
ג.תלמיד טוען שכאשר מקפלים את הפריסה לתיבה סגורה, המלבן בגודל 6×4 (אחד הבסיסים) הופך לדופן הנגדית (הדופן הנמצאת ממול) של המלבן בגודל 4×3 (אחת הדפנות הצדדיות). האם ייתכן שהוא צודק? נמקו לפי מבנה הפריסה שתואר.
4 נק׳הציגו פתרון
- בפריסת תיבה, כל שני מלבנים הופכים לדפנות נגדיות (מקבילות) זו לזו רק אם הם זהים בגודלם — שני הבסיסים (6×4) נגדיים זה לזה, שתי הדפנות הקדמית-אחורית (6×3) נגדיות זו לזו, ושתי הדפנות הצדדיות (4×3) נגדיות זו לזו.
- המלבן בגודל 6×4 אינו זהה בגודלו למלבן בגודל 4×3, ולכן הם אינם יכולים להיות דפנות נגדיות זו לזו בתיבה המתקפלת.
- לכן התלמיד אינו צודק: המלבן בגודל 6×4 נגדי למלבן השני בגודל 6×4, ולא למלבן בגודל 4×3.
תשובה: לא ייתכן
ד.מייצרים קופסה נוספת, דומה לקופסה המקורית, אך עם כל שלוש המידות (אורך, רוחב וגובה) מוקטנות פי 2. מצאו את שטח הפנים הכולל של הקופסה הקטנה, ומצאו את היחס, כשבר פשוט ביותר, בין שטח הפנים שלה לשטח הפנים של הקופסה המקורית.
5 נק׳הציגו פתרון
- מידות הקופסה הקטנה: אורך 3 ס"מ, רוחב 2 ס"מ, גובה 1.5 ס"מ.
- שטחי המלבנים בפריסה הקטנה: 3·2=6, 3·1.5=4.5, 2·1.5=3 סמ"ר.
- שטח הפנים הכולל של הקופסה הקטנה: 2·(6+4.5+3) = 2·13.5 = 27 סמ"ר.
- היחס בין שטחי הפנים הוא 27:108, ולאחר צמצום ב-27 מתקבל היחס הפשוט ביותר 1:4.
תשובה: 27 סמ"ר, ביחס 1:4 לקופסה המקורית
ה.עלות ייצור הקרטון היא 0.5 ש"ח לכל סמ"ר משטח הפנים. מצאו את עלות הקרטון הנדרשת לייצור קופסה אחת בגודל המקורי, ומצאו כמה שקלים חוסך היצרן בייצור קופסה אחת בגודל המוקטן (מסעיף ד') לעומת הקופסה המקורית.
5 נק׳הציגו פתרון
- עלות הקרטון לקופסה המקורית: 108 · 0.5 = 54 ש"ח.
- עלות הקרטון לקופסה הקטנה: 27 · 0.5 = 13.5 ש"ח.
- החיסכון בייצור קופסה קטנה במקום מקורית הוא 54 - 13.5 = 40.5 ש"ח.
תשובה: 54 ש"ח לקופסה המקורית, חיסכון של 40.5 ש"ח בקופסה הקטנה
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.