שאלון 35371אשכול התמצאות במישור ובמרחב25 נקודות · ברמת הבחינה
סולם באורך 5 מ׳ נשען על קיר אנכי, כשקצהו התחתון מונח על הרצפה. הזווית α שהסולם יוצר עם הרצפה מקיימת: sin(α) = 0.8 ו-cos(α) = 0.6.
א.מצאו את הגובה שאליו מגיע הסולם על הקיר.
5 נק׳הציגו פתרון
- הגובה על הקיר הוא הצלע שממול לזווית α במשולש הישר-זווית שנוצר.
- לפי הגדרת הסינוס, הגובה שווה לאורך הסולם כפול sin(α): 5 כפול 0.8 = 4.
- לכן הסולם מגיע לגובה 4 מ׳ על הקיר.
תשובה: 4 מ׳
ב.מצאו את המרחק בין תחתית הסולם לקיר.
6 נק׳הציגו פתרון
- המרחק מהקיר הוא הצלע הסמוכה לזווית α.
- לפי הגדרת הקוסינוס, מרחק זה שווה לאורך הסולם כפול cos(α): 5 כפול 0.6 = 3.
- לכן המרחק בין תחתית הסולם לקיר הוא 3 מ׳.
תשובה: 3 מ׳
ג.בדקו, באמצעות משפט פיתגורס, שהתוצאות שהתקבלו בסעיפים א ו-ב מתאימות למשולש ישר-זווית שהיתר שלו הוא 5 מ׳.
6 נק׳הציגו פתרון
- הצלעות שהתקבלו הן 3 מ׳ ו-4 מ׳, והיתר הוא אורך הסולם, 5 מ׳.
- לפי משפט פיתגורס יש לבדוק אם 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע שווה ל-5 בריבוע.
- 9 ועוד 16 שווה 25, וגם 5 בריבוע שווה 25.
- שני האגפים שווים, ולכן התוצאות עקביות עם משולש ישר-זווית.
תשובה: מתקיים: 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע שווה ל-5 בריבוע, כלומר 25=25.
ד.מזיזים את תחתית הסולם כך שהמרחק שלה מהקיר גדל ב-1 מ׳ (מ-3 מ׳ ל-4 מ׳), מבלי לשנות את אורך הסולם. מצאו את הגובה החדש שאליו מגיע הסולם על הקיר, וקבעו האם הגובה גדל או קטן ביחס לסעיף א.
8 נק׳הציגו פתרון
- אורך הסולם עדיין 5 מ׳, והמרחק החדש מהקיר הוא 4 מ׳.
- לפי משפט פיתגורס, הגובה בריבוע שווה 5 בריבוע פחות 4 בריבוע: 25-16=9.
- השורש הריבועי של 9 הוא 3, ולכן הגובה החדש הוא 3 מ׳.
- 3 מ׳ קטן מ-4 מ׳ (התוצאה בסעיף א), וזה הגיוני: ככל שמרחיקים את תחתית הסולם מהקיר, הגובה שהוא מגיע אליו קטן.
תשובה: 3 מ׳; הגובה קטן ביחס לסעיף א (מ-4 מ׳ ל-3 מ׳).
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.