שאלון 35371אשכול פיננסי כלכלי25 נקודות · ברמת הבחינה
שני חברים פותחים תוכניות חיסכון בו-זמנית, כל אחד עם הפקדה התחלתית של 5,000 ש״ח. תוכנית A גדלה מדי שנה ב-20 אחוזים (ריבית דריבית, גדילה מעריכית). תוכנית B אינה צוברת ריבית, אך מדי שנה מפקידים בה סכום קבוע נוסף של 1,000 ש״ח (גדילה ליניארית).
א.כתבו נוסחה לסכום בתוכנית A כעבור t שנים, ונוסחה לסכום בתוכנית B כעבור t שנים.
4 נק׳הציגו פתרון
- תוכנית A גדלה ב-20 אחוזים בכל שנה, כלומר מוכפלת ב-q=1.2 בכל שנה. לפי נוסחת הגדילה המעריכית: A(t) = 5,000 כפול 1.2 בחזקת t.
- תוכנית B מוסיפה 1,000 ש״ח קבועים בכל שנה, ולכן B(t) = 5,000 + 1,000 כפול t (גדילה ליניארית).
תשובה: A(t) = 5,000 כפול 1.2 בחזקת t; B(t) = 5,000 + 1,000 כפול t.
ב.מצאו את הסכום בכל תוכנית לאחר שנה אחת (t=1). מה מיוחד בתוצאה?
5 נק׳הציגו פתרון
- A(1) = 5,000 כפול 1.2 = 6,000.
- B(1) = 5,000 + 1,000 כפול 1 = 6,000.
- שני הסכומים שווים בדיוק, 6,000 ש״ח, לאחר השנה הראשונה.
תשובה: בשתי התוכניות הסכום לאחר שנה הוא 6,000 ש״ח — הן שוות.
ג.מצאו את הסכום בכל תוכנית לאחר שנתיים (t=2), וקבעו איזו תוכנית גדולה יותר באותו שלב.
5 נק׳הציגו פתרון
- A(2) = 6,000 כפול 1.2 = 7,200 (או ישירות: 5,000 כפול 1.2 בחזקת 2 = 5,000 כפול 1.44=7,200).
- B(2) = 5,000 + 1,000 כפול 2 = 7,000.
- 7,200 גדול מ-7,000, ולכן תוכנית A עוקפת את תוכנית B החל משנה זו.
תשובה: A(2)=7,200 ש״ח, B(2)=7,000 ש״ח; תוכנית A גדולה יותר.
ד.מצאו את התוספת (הגידול) שמוסיפה תוכנית A בין השנה הראשונה לשנייה (מ-A(1) ל-A(2)), והשוו אותה לתוספת הקבועה של תוכנית B (1,000 ש״ח בכל שנה). החל מאיזו שנה התוספת השנתית של תוכנית A עולה על 1,000 ש״ח?
5 נק׳הציגו פתרון
- התוספת של תוכנית A מ-t=1 ל-t=2 היא A(2)-A(1) = 7,200-6,000=1,200.
- 1,200 גדול מ-1,000, התוספת הקבועה של תוכנית B.
- לכן כבר בשנה השנייה (המעבר משנה 1 לשנה 2), התוספת השנתית של תוכנית A עולה על התוספת הקבועה של תוכנית B, ומכאן ואילך הפער בין התוספות רק יגדל, כי תוספת A תמיד שווה ל-20 אחוזים מהסכום הנוכחי, וזה גדל עם הזמן.
תשובה: התוספת בין השנה הראשונה לשנייה היא 1,200 ש״ח, כבר גדולה מ-1,000; כלומר כבר במעבר משנה 1 לשנה 2.
ה.חברה טענה: ׳מהרגע שתוכנית A עולה לראשונה על תוכנית B, היא תישאר תמיד גבוהה ממנה בהמשך׳. בדקו את הטענה עבור השנים השלישית והרביעית (t=3 ו-t=4), והסבירו באופן כללי מדוע זה נכון כאשר משווים גדילה מעריכית לגדילה ליניארית.
6 נק׳הציגו פתרון
- A(3) = 7,200 כפול 1.2 = 8,640. B(3) = 5,000+1,000 כפול 3=8,000. 8,640 גדול מ-8,000.
- A(4) = 8,640 כפול 1.2 = 10,368. B(4) = 5,000+1,000 כפול 4=9,000. 10,368 גדול מ-9,000.
- הפער בין A ל-B גדל משנה לשנה (200 בשנה 2, 640 בשנה 3, 1,368 בשנה 4), ולא מצטמצם.
- באופן כללי, ברגע שתוכנית A מתחילה לעלות על תוכנית B, התוספת השנתית שלה (שהיא אחוז קבוע מסכום שכבר גדול מ-B) רק ממשיכה לגדול, בעוד שהתוספת של B נשארת קבועה לנצח. לכן ברגע שגדילה מעריכית עוקפת גדילה ליניארית, היא תישאר גבוהה ממנה לתמיד. הטענה נכונה.
תשובה: הטענה נכונה: A(3)=8,640 גדול מ-B(3)=8,000, ו-A(4)=10,368 גדול מ-B(4)=9,000, והפער רק גדל.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.