שאלון 35371אשכול התמצאות במישור ובמרחב25 נקודות · מאתגרת
מגדל תצפית ניצב לקרקע. שתי הנקודות A ו-B נמצאות על אותו קו ישר עם בסיס המגדל, כאשר B קרובה יותר למגדל מ-A. מהנקודה A, זווית ההרמה לראש המגדל α מקיימת tan(α)=0.3. מהנקודה B, זווית ההרמה לראש המגדל β מקיימת tan(β)=0.5. גובה המגדל אינו ידוע, אך ידוע שהמרחק בין הנקודות A ל-B הוא 40 מ׳.
א.הביעו את המרחק האופקי בין A לבסיס המגדל באמצעות גובה המגדל H (השתמשו ב-tan(α)).
5 נק׳הציגו פתרון
- המשולש הנוצר בין A, בסיס המגדל וראש המגדל הוא משולש ישר-זווית.
- לפי הגדרת הטנגנס: tan(α) = גובה חלקי מרחק אופקי, כלומר 0.3 = H חלקי מרחק A.
- לכן מרחק A מהמגדל שווה ל-H חלקי 0.3.
תשובה: המרחק מ-A לבסיס המגדל שווה ל-H חלקי 0.3.
ב.הביעו, באופן דומה, את המרחק האופקי בין B לבסיס המגדל באמצעות H.
4 נק׳הציגו פתרון
- באותו אופן, tan(β) = גובה חלקי מרחק אופקי מ-B, כלומר 0.5 = H חלקי מרחק B.
- לכן מרחק B מהמגדל שווה ל-H חלקי 0.5 = 2H.
תשובה: המרחק מ-B לבסיס המגדל שווה ל-H חלקי 0.5, כלומר 2H.
ג.בעזרת העובדה שהמרחק בין A ל-B הוא 40 מ׳, מצאו את גובה המגדל H.
7 נק׳הציגו פתרון
- מכיוון ש-B קרובה יותר למגדל, המרחק AB שווה להפרש בין מרחק A למגדל לבין מרחק B למגדל: (H חלקי 0.3) - 2H = 40.
- כותבים H חלקי 0.3 כ-10H חלקי 3 (מפני ש-1 חלקי 0.3 = 10 חלקי 3), ו-2H כ-6H חלקי 3.
- המשוואה הופכת ל: 10H חלקי 3 - 6H חלקי 3 = 40, כלומר 4H חלקי 3 = 40.
- H = 40 כפול 3 חלקי 4 = 30.
- לכן גובה המגדל הוא 30 מ׳.
תשובה: H = 30 מ׳
ד.מצאו את המרחקים האופקיים המדויקים של A ושל B מבסיס המגדל.
4 נק׳הציגו פתרון
- מרחק A = H חלקי 0.3 = 30 חלקי 0.3 = 100 מ׳.
- מרחק B = 2H = 2 כפול 30 = 60 מ׳.
- בדיקה: ההפרש בין המרחקים הוא 100-60=40, כמתאים לנתון.
תשובה: מרחק A: 100 מ׳; מרחק B: 60 מ׳.
ה.טכנאי טען: ״אילו המגדל היה גבוה פי 2 (60 מ׳ במקום 30 מ׳), בעוד שהזוויות α ו-β נשארות זהות, גם המרחק בין A ל-B היה גדל פי 2 (80 מ׳ במקום 40 מ׳)״. האם הטכנאי צודק? נמקו לפי הקשר שמצאתם בסעיף ג.
5 נק׳הציגו פתרון
- מסעיף ג, הקשר בין AB לגובה המגדל הוא AB = (4 חלקי 3) כפול H — יחס קבוע וליניארי, כל עוד הזוויות α ו-β אינן משתנות.
- אם H מוכפל פי 2 (מ-30 ל-60), אז AB גם מוכפל פי 2: (4 חלקי 3) כפול 60 = 80.
- לכן טענת הטכנאי נכונה: מכיוון שהקשר בין AB ל-H הוא פרופורציה ישרה (ליניארית דרך הראשית), הכפלת H גוררת בהכרח הכפלה זהה של AB.
תשובה: כן, הטכנאי צודק: המרחק AB שווה ל-(4 חלקי 3) כפול H, כלומר פרופורציוני ל-H, ולכן הכפלת H גוררת הכפלת AB.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.