שאלון 35372פרק א' — תכנון ליניארי וגאומטריה אנליטית27 נקודות · ברמת הבחינה
בשכונה חדשה מתוכננים שני רחובות על גבי תרשים קואורדינטות (ביחידות של ק"מ). הרחוב הראשי עובר דרך הצמתים A(2, 3) ו-B(10, 7). מתוכנן רחוב צדדי, המאונך לרחוב הראשי, ועובר דרך הצומת B. הרחוב הצדדי אמור לחצות רחוב מזרח-מערב קיים, שמשוואתו y = 1.
א.מצאו את שיפוע הרחוב הראשי (AB), ורשמו את משוואתו.
5 נק׳הציגו פתרון
- שיפוע AB: m = (7 − 3)/(10 − 2) = 4/8 = 1/2.
- נציב את הנקודה A(2,3) בנוסחת הישר y − y₁ = m(x − x₁): y − 3 = (1/2)(x − 2).
- נפתח: y = (1/2)x − 1 + 3 = (1/2)x + 2.
תשובה: השיפוע הוא 1/2, ומשוואת הרחוב: y = (1/2)x + 2.
ב.מצאו את משוואת הרחוב הצדדי, המאונך לרחוב הראשי ועובר דרך B(10, 7).
6 נק׳הציגו פתרון
- שיפוע ישר מאונך הוא הופכי ונגדי לשיפוע הישר הנתון: m_perp = −1/(1/2) = −2.
- נציב את הנקודה B(10,7) בנוסחת הישר: y − 7 = −2(x − 10).
- נפתח: y = −2x + 20 + 7 = −2x + 27.
תשובה: y = −2x + 27
ג.מצאו את הנקודה שבה הרחוב הצדדי חוצה את הרחוב הקיים y = 1.
7 נק׳הציגו פתרון
- נציב y = 1 במשוואת הרחוב הצדדי: 1 = −2x + 27.
- נפתור: 2x = 26, ומכאן x = 13.
- נקודת החיתוך היא E(13, 1).
תשובה: E(13, 1)
ד.מצאו את המרחק בין הצומת B לבין נקודת החיתוך E.
5 נק׳הציגו פתרון
- נוסחת המרחק: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
- נציב B(10,7) ו-E(13,1): d = √((13−10)² + (1−7)²) = √(9 + 36) = √45.
- נפשט: √45 = √(9·5) = 3√5 ק"מ.
תשובה: BE = 3√5 ק"מ.
ה.התושבים טוענים שגם הרחוב הראשי וגם הרחוב הצדדי עוברים דרך הצומת A(2, 3). האם ייתכן? נמקו.
4 נק׳הציגו פתרון
- הצומת A נמצא, לפי הנתון, על הרחוב הראשי בלבד.
- נבדוק אם A מקיים את משוואת הרחוב הצדדי y = −2x + 27: נציב x=2 ונקבל y = −2·2 + 27 = 23.
- מכיוון שהתקבל 23 ולא 3 (הערך האמיתי של y בנקודה A), הנקודה A אינה נמצאת על הרחוב הצדדי, ולכן טענת התושבים אינה נכונה.
תשובה: לא ייתכן.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של GeekHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.