מזרקה בכיכר — משוואת מעגל · מתכונת 35372

1. משוואת מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו r היא (x − a)² + (y − b)² = r².
2. נציב מרכז M(3,4) ורדיוס r=5, ולכן r² = 25: (x − 3)² + (y − 4)² = 25.

תשובה: (x − 3)² + (y − 4)² = 25

1. נחשב את המרחק בין P למרכז M באמצעות נוסחת המרחק: d = √((15−3)² + (9−4)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
2. מכיוון שהמרחק (13 מטר) גדול מהרדיוס (5 מטר), הנקודה P נמצאת מחוץ לאזור המרוצף.

תשובה: P נמצאת מחוץ לאזור המרוצף.

1. הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך למשיק, ולכן נוצר משולש ישר-זווית שהיתר שלו הוא הקטע מ-P למרכז M (13 מטר), וניצב אחד שלו הוא הרדיוס (5 מטר).
2. לפי משפט פיתגורס, אורך השביל (הניצב השני) הוא √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144.
3. √144 = 12, ולכן אורך השביל הוא 12 מטר.

תשובה: 12 מטר.

1. נחשב את המרחק בין Q למרכז M: d = √((6−3)² + (8−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
2. מכיוון שהמרחק שווה בדיוק לרדיוס (5 מטר), הנקודה Q נמצאת על המעגל עצמו — על גבול האזור המרוצף.

תשובה: כן, Q נמצאת בדיוק על גבול האזור.

1. לפי משוואת המעגל, נקודה נמצאת בתוך האזור אם מרחקה מ-M קטן מהרדיוס (5), על הגבול אם מרחקה שווה בדיוק לרדיוס, ומחוץ לאזור אם מרחקה גדול מהרדיוס.
2. לכן כל נקודה שמרחקה מ-M גדול מ-5 מטר מקיימת, לפי ההגדרה עצמה, שהיא נמצאת מחוץ למעגל — ולכן מחוץ לאזור המרוצף.
3. טענת הגנן נכונה.

תשובה: כן, הגנן צודק.