שאלון 35372פרק א' — תכנון ליניארי וגאומטריה אנליטית27 נקודות · קלה יחסית
צוות מודדים מתכנן שביל חדש בשמורת טבע. על תרשים קואורדינטות (ביחידות מטרים) מסומנות שלוש נקודות ציון מרכזיות: עמדת תצפית A(1, 1), מצפור B(9, 5), ובריכת מים טבעית C(5, 11). הצוות שוקל להוסיף שביל קיצור המחבר בין אמצעי שניים מהקטעים.
א.מצאו את אמצע הקטע AB.
5 נק׳הציגו פתרון
- נוסחת אמצע קטע: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
- נציב את A(1,1) ו-B(9,5): M₁ = ((1+9)/2, (1+5)/2) = (5, 3).
תשובה: M₁(5, 3)
ב.מצאו את אמצע הקטע AC.
5 נק׳הציגו פתרון
- נציב את A(1,1) ו-C(5,11) בנוסחת אמצע קטע: M₂ = ((1+5)/2, (1+11)/2) = (3, 6).
תשובה: M₂(3, 6)
ג.הוכיחו כי הקטע M₁M₂ (שביל הקיצור המחבר בין האמצעים שמצאתם) מקביל לצלע BC.
6 נק׳הציגו פתרון
- שיפוע M₁M₂: m = (6 − 3)/(3 − 5) = 3/(−2) = −3/2.
- שיפוע BC: m = (11 − 5)/(5 − 9) = 6/(−4) = −3/2.
- מכיוון ששני השיפועים שווים (−3/2 = −3/2), הקטעים M₁M₂ ו-BC מקבילים.
תשובה: שיפוע M₁M₂ ושיפוע BC שווים (שניהם −3/2), ולכן הקטעים מקבילים.
ד.מצאו את אורך הקטע M₁M₂ ואת אורך הצלע BC, והראו כי M₁M₂ שווה למחצית אורך BC.
6 נק׳הציגו פתרון
- אורך M₁M₂: d = √((3−5)² + (6−3)²) = √(4+9) = √13.
- אורך BC: d = √((5−9)² + (11−5)²) = √(16+36) = √52 = √(4·13) = 2√13.
- מכיוון ש-2√13 = 2·√13, מתקיים BC = 2·M₁M₂, כלומר M₁M₂ = (1/2)·BC — בדיוק מחצית אורך BC.
תשובה: M₁M₂ = √13, BC = 2√13, ולכן M₁M₂ שווה למחצית BC.
ה.מודדת בצוות טוענת שגם הקטע המחבר בין אמצע AC (הנקודה M₂) לבין אמצע BC יהיה מקביל לצלע AB ושווה למחצית אורכה. בדקו את טענתה: מצאו את אמצע BC וחשבו.
5 נק׳הציגו פתרון
- נמצא את אמצע BC: M₃ = ((9+5)/2, (5+11)/2) = (7, 8).
- שיפוע M₂M₃: m = (8−6)/(7−3) = 2/4 = 1/2. שיפוע AB: m = (5−1)/(9−1) = 4/8 = 1/2 — שווים, ולכן מקבילים.
- אורך M₂M₃: √((7−3)²+(8−6)²) = √(16+4) = √20 = 2√5. אורך AB: √((9−1)²+(5−1)²) = √(64+16) = √80 = 4√5. מכיוון ש-4√5 = 2·(2√5), מתקיים AB = 2·M₂M₃, כלומר M₂M₃ שווה למחצית AB. טענתה של המודדת נכונה.
תשובה: צודקת — הקטע M₂M₃ מקביל ל-AB ושווה למחציתו.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.