שאלון 35372פרק ב' — התפלגות נורמלית, מודל ריבועי וגופים במרחב27 נקודות · ברמת הבחינה
במפעל שוקולד מייצרים חטיפי שוקולד שמשקלם מתפלג התפלגות נורמלית, עם ממוצע μ = 500 גרם וסטיית תקן σ = 10 גרם. ביום מסוים יוצרו במפעל 2000 חטיפים.
א.בטאו את המשקלים 485 גרם ו-510 גרם באמצעות μ ו-σ (כלומר, כמה סטיות תקן הם מרוחקים מהממוצע, ולאיזה כיוון).
5 נק׳הציגו פתרון
- המרחק מהממוצע ל-485: 500 − 485 = 15 גרם, וזה שווה ל-1.5·10 = 1.5σ. מכיוון ש-485 קטן מהממוצע: 485 = μ − 1.5σ.
- המרחק מהממוצע ל-510: 510 − 500 = 10 גרם, וזה שווה ל-1·10 = σ. מכיוון ש-510 גדול מהממוצע: 510 = μ + σ.
תשובה: 485 = μ − 1.5σ, 510 = μ + σ.
ב.לפי גרף ההתפלגות הנורמלית שבנוסחאון, מצאו בנפרד את אחוז החטיפים במשקל שבין 485 ל-500 גרם (מ-μ−1.5σ ועד הממוצע), ואת אחוז החטיפים במשקל שבין 500 ל-510 גרם (מהממוצע ועד μ+σ).
7 נק׳הציגו פתרון
- הטווח בין μ−1.5σ לממוצע מורכב משלוש הרצועות הקרובות לממוצע בצד זה: 19% + 15% + 9% = 43%.
- הטווח בין הממוצע ל-μ+σ מורכב משתי הרצועות הקרובות לממוצע בצד השני: 19% + 15% = 34%.
תשובה: בין 485 ל-500: 43%. בין 500 ל-510: 34%.
ג.מהו אחוז החטיפים ששוקלים בין 485 ל-510 גרם בסך הכול, וכמה חטיפים (מתוך 2000) זה מהווה?
7 נק׳הציגו פתרון
- נחבר את שני האחוזים מסעיף ב': 43% + 34% = 77%.
- מספר החטיפים: 77% · 2000 = 0.77 · 2000 = 1,540.
תשובה: 77%, שהם 1,540 חטיפים.
ד.עובד בביקורת האיכות טוען שמכיוון שהטווח 485–510 "כמעט סימטרי" סביב הממוצע, ניתן לחשב את האחוז הכולל בקירוב פשוט — על ידי הכפלת האחוז שבין 495 ל-505 (טווח סימטרי במרחק חצי סטיית תקן מהממוצע) פי 2. האם שיטתו נכונה? נמקו.
8 נק׳הציגו פתרון
- הטווח 485–510 אכן אינו סימטרי סביב הממוצע: הצד השמאלי משתרע 1.5σ (עד 485), והצד הימני משתרע רק σ אחת (עד 510) — מרחקים שונים.
- לכן לא ניתן לחשב את האחוז הכולל בטווח באמצעות הכפלה של אחוז כלשהו פי 2; יש לחשב כל צד בנפרד ולחבר, בדיוק כפי שנעשה בסעיפים ב'-ג'.
- לדוגמה, האחוז בין 495 ל-505 (חצי סטיית תקן מכל צד) הוא 19%+19%=38%, וכפל פי 2 היה נותן 76% — קרוב אך לא זהה לתוצאה המדויקת 77% שמצאנו, ולכן השיטה אינה מדויקת ואינה נכונה מבחינה עקרונית.
תשובה: לא נכונה — הטווח 485–510 אינו סימטרי סביב הממוצע, ולכן אי אפשר לחשב אותו על ידי הכפלת אחוז אחר פי 2.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.