מכלי מיחזור — תכנון ליניארי · מתכונת 35372

1. דרישת קיבולת הנייר: כל מכל A תורם 3 יחידות וכל מכל B תורם יחידה אחת, ויש לספק לפחות 18 יחידות, ולכן 3x + y ≥ 18.
2. דרישת קיבולת הפלסטיק: כל מכל A תורם יחידה אחת וכל מכל B תורם 2 יחידות, ויש לספק לפחות 16 יחידות, ולכן x + 2y ≥ 16.
3. מספר המכלים אינו יכול להיות שלילי, ולכן x ≥ 0 ו-y ≥ 0.

תשובה: 3x + y ≥ 18, x + 2y ≥ 16, x ≥ 0, y ≥ 0.

1. מהמשוואה הראשונה: y = 18 − 3x.
2. נציב במשוואה השנייה: x + 2(18 − 3x) = 16.
3. נפתח סוגריים: x + 36 − 6x = 16, כלומר −5x = −20, ומכאן x = 4.
4. נציב חזרה: y = 18 − 3·4 = 6. נקודת החיתוך היא (4, 6).

תשובה: (4, 6)

1. קדקוד על ציר ה-y (x=0): נדרש y ≥ 18 (מאילוץ הנייר) וגם y ≥ 8 (מאילוץ הפלסטיק), ולכן הקדקוד הרלוונטי הוא (0, 18).
2. קדקוד על ציר ה-x (y=0): נדרש x ≥ 6 (מאילוץ הנייר) וגם x ≥ 16 (מאילוץ הפלסטיק), ולכן הקדקוד הרלוונטי הוא (16, 0).
3. נחשב את C בכל קדקוד: ב-(0,18): C = 4·0 + 5·18 = 90. ב-(4,6): C = 4·4 + 5·6 = 16 + 30 = 46. ב-(16,0): C = 4·16 + 5·0 = 64.
4. הערך הנמוך ביותר הוא 46, המתקבל בנקודה (4,6), כלומר ברכישת 4 מכלי A ו-6 מכלי B, בעלות מזערית של 46 אלפי ש"ח.

תשובה: יש לרכוש 4 מכלי A ו-6 מכלי B; העלות המזערית היא 46 אלפי ש"ח.

1. נבדוק את הנקודה (100,100) באילוצים: 3·100 + 100 = 400 ≥ 18 ✓, ו-100 + 2·100 = 300 ≥ 16 ✓.
2. שני האילוצים מתקיימים, וכך גם עבור נקודות רחוקות הרבה יותר מהראשית (למשל x=1000, y=1000, וכן הלאה), ולכן תחום האפשרויות משתרע ללא גבול בכיוון שבו x ו-y גדלים יחד — הוא אינו חסום.

תשובה: הנקודה (100,100) מקיימת את כל האילוצים, ולכן התחום אינו חסום.

1. מכיוון שהתחום אינו חסום (סעיף ד'), וניתן להגדיל את x ו-y ללא גבול תוך שמירה על האילוצים, גם ערך הפונקציה C = 4x + 5y יכול לגדול ללא גבול (מקדמי x ו-y ב-C חיוביים).
2. לכן, בניגוד למינימום (שמתקבל בקדקוד סופי), אין ערך מרבי סופי ל-C בבעיה הזו — אלא אם תתווסף מגבלה נוספת (כגון תקציב מרבי) שתחסום את התחום. טענת עומר נכונה.

תשובה: כן, צודק — אין עלות מרבית סופית, כי C יכול לגדול ללא גבול.