עמותת סיוע לקהילה מארזת לקראת החג חבילות מזון משני סוגים: חבילה A וחבילה B, ומעוניינת להבטיח אספקה של לפחות 40 ק"ג קמח ולפחות 30 ליטר שמן לכלל המשפחות באזור. כל חבילה A מכילה 4 ק"ג קמח ו-1 ליטר שמן, ועולה 25 ש"ח. כל חבילה B מכילה 2 ק"ג קמח ו-3 ליטר שמן, ועולה 20 ש"ח. בשל מגבלת קיבולת רכב ההפצה, ניתן להעביר בכל נסיעה לכל היותר 20 חבילות בסך הכול (משני הסוגים יחד). נסמן ב-x את מספר חבילות A, וב-y את מספר חבילות B.
הציגו פתרון
- דרישת הקמח: כל חבילה A תורמת 4 ק"ג וכל חבילה B תורמת 2 ק"ג, ויש לספק לפחות 40 ק"ג, ולכן 4x + 2y ≥ 40.
- נחלק את שני האגפים ב-2 ונקבל את הצורה הפשוטה 2x + y ≥ 20.
- דרישת השמן: כל חבילה A תורמת 1 ליטר וכל חבילה B תורמת 3 ליטר, ויש לספק לפחות 30 ליטר, ולכן x + 3y ≥ 30.
- מגבלת קיבולת הרכב: סך כל החבילות בנסיעה אינו יכול לעלות על 20, ולכן x + y ≤ 20. מספר החבילות אינו יכול להיות שלילי: x ≥ 0, y ≥ 0.
תשובה: 2x + y ≥ 20, x + 3y ≥ 30, x + y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0.
הציגו פתרון
- מהמשוואה הראשונה: y = 20 − 2x.
- נציב במשוואה השנייה: x + 3(20 − 2x) = 30.
- נפתח סוגריים: x + 60 − 6x = 30, כלומר −5x = −30, ומכאן x = 6.
- נציב חזרה: y = 20 − 2·6 = 8. נקודת החיתוך היא (6, 8). נבדוק את מגבלת הקיבולת: x + y = 6 + 8 = 14 ≤ 20, כך שהנקודה אכן מקיימת אותה.
תשובה: (6, 8), והנקודה אכן מקיימת את מגבלת הקיבולת.
הציגו פתרון
- קדקודי תחום האפשרויות הם הנקודות: (6, 8) — מסעיף ב'; (0, 20) — חיתוך 2x+y=20 עם x+y=20; (15, 5) — חיתוך x+3y=30 עם x+y=20.
- נחשב את C בכל קדקוד: ב-(6,8): C = 25·6 + 20·8 = 150 + 160 = 310.
- ב-(0,20): C = 25·0 + 20·20 = 400. ב-(15,5): C = 25·15 + 20·5 = 375 + 100 = 475.
- הערך הנמוך ביותר הוא 310 ש"ח, המתקבל בנקודה (6,8), כלומר באריזת 6 חבילות A ו-8 חבילות B.
תשובה: יש לארוז 6 חבילות A ו-8 חבילות B; העלות המזערית היא 310 ש"ח.
הציגו פתרון
- בפתרון האופטימלי (6, 8), סך כל החבילות הוא x + y = 14, שהוא נמוך משמעותית ממגבלת ה-20 חבילות.
- מכיוון שהאילוץ x + y ≤ 20 אינו "צמוד" (אינו פעיל) בנקודת האופטימום, הגדלת המגבלה לא הייתה משנה את קדקודי תחום האפשרויות הרלוונטיים לפתרון, ולא הייתה מורידה את העלות המזערית.
- לכן טענת הרכז אינה נכונה — העלות המזערית הייתה נשארת 310 ש"ח.
תשובה: לא צודק — האילוץ אינו פעיל בפתרון האופטימלי.
הציגו פתרון
- נבדוק את דרישת הקמח: 2·10 + 10 = 30 ≥ 20 ✓. נבדוק את דרישת השמן: 10 + 3·10 = 40 ≥ 30 ✓. נבדוק את קיבולת הרכב: 10 + 10 = 20 ≤ 20 ✓.
- כל האילוצים מתקיימים, ולכן ההצעה אפשרית.
- נחשב את העלות: C = 25·10 + 20·10 = 250 + 200 = 450 ש"ח, לעומת העלות המזערית שנמצאה בסעיף ג' (310 ש"ח).
- מכיוון ש-450 > 310, ההצעה אפשרית אך אינה חסכונית כמו הפתרון האופטימלי — היא יקרה ב-140 ש"ח נוספים.
תשובה: ההצעה אפשרית, אך עלותה (450 ש"ח) גבוהה מהעלות המזערית (310 ש"ח).
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.