שאלון 35372פרק ב' — התפלגות נורמלית, מודל ריבועי וגופים במרחב27 נקודות · ברמת הבחינה
משך זמן ריצת 100 מטר של ספורטאי קבוצת אתלטיקה מתפלג התפלגות נורמלית, עם ממוצע μ = 13 שניות וסטיית תקן σ = 0.5 שניות. בקבוצה יש 200 ספורטאים.
א.כמה ספורטאים (מתוך 200) רצים את המרחק בזמן שבין 12.5 ל-13.5 שניות?
6 נק׳הציגו פתרון
- 12.5 שניות הוא μ − σ, ו-13.5 שניות הוא μ + σ.
- לפי הגרף שבנוסחאון, האחוז בטווח של סטיית תקן אחת מסביב לממוצע הוא 2·(19%+15%) = 68%.
- מספר הספורטאים: 68% · 200 = 0.68 · 200 = 136.
תשובה: 136 ספורטאים.
ב.כמה ספורטאים רצים מהר יותר מ-12 שניות (כלומר, זמן הריצה שלהם קטן מ-12 שניות)?
7 נק׳הציגו פתרון
- 12 שניות הוא μ − 2σ (13 − 2·0.5 = 12).
- לפי הגרף שבנוסחאון, האחוז שמעבר ל-2σ מתחת לממוצע הוא סכום שתי הרצועות הקיצוניות: 1.5% + 0.5% = 2%.
- מספר הספורטאים: 2% · 200 = 0.02 · 200 = 4.
תשובה: 4 ספורטאים.
ג.מהו זמן הריצה שמתחתיו נמצאים 0.5% המהירים ביותר מבין ספורטאי הקבוצה?
8 נק׳הציגו פתרון
- לפי הגרף שבנוסחאון, הרצועה הקיצונית ביותר (הרחוקה ביותר מהממוצע) מייצגת 0.5% מהאוכלוסייה, והיא נמצאת בטווח שבין 2.5σ ל-3σ מהממוצע.
- לכן הזמנים המהירים ביותר (0.5% מהספורטאים) הם אלו הקטנים מ-μ − 2.5σ.
- נחשב: μ − 2.5σ = 13 − 2.5·0.5 = 13 − 1.25 = 11.75 שניות.
תשובה: 11.75 שניות.
ד.המאמנת יעל טוענת שכ-1% מהספורטאים רצים לאט יותר מ-14 שניות. האם טענתה מדויקת לפי הנוסחאון? נמקו.
6 נק׳הציגו פתרון
- 14 שניות הוא μ + 2σ (13 + 2·0.5 = 14).
- לפי הגרף שבנוסחאון, האחוז שמעבר ל-2σ מעל הממוצע הוא סכום שתי הרצועות הקיצוניות: 1.5% + 0.5% = 2%.
- מכיוון שהתקבל 2% ולא 1%, טענתה של יעל אינה מדויקת לפי נתוני הנוסחאון.
תשובה: לא מדויק — לפי הנוסחאון האחוז הוא 2%.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.