שאלון 35372פרק א' — תכנון ליניארי וגאומטריה אנליטית27 נקודות · ברמת הבחינה
עיריית העיר מתכננת שביל אופניים חדש, שיעבור בקו ישר דרך שתי תחנות מידע קיימות בפארק: תחנה A(2, 6) ותחנה B(6, −2), על תרשים קואורדינטות (ביחידות ק"מ) שבו ראשית הצירים מייצגת את מרכז העיר. השביל ממשיך כקו ישר עד שהוא חוצה את שני הכבישים הראשיים העוברים דרך מרכז העיר: כביש מזרח-מערב (ציר ה-x) וכביש צפון-דרום (ציר ה-y). האזור המשולש הכלוא בין השביל לבין שני הכבישים מיועד להכרזה כאזור פיתוח ירוק.
א.מצאו את שיפוע השביל (הישר העובר דרך A ו-B).
5 נק׳הציגו פתרון
- נוסחת השיפוע: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
- נציב A(2,6) ו-B(6,−2): m = (−2 − 6)/(6 − 2) = −8/4 = −2.
תשובה: m = −2
ב.מצאו את משוואת השביל.
6 נק׳הציגו פתרון
- נציב את הנקודה A(2,6) והשיפוע m=−2 בנוסחת הישר: y − 6 = −2(x − 2).
- נפתח סוגריים: y = −2x + 4 + 6 = −2x + 10.
תשובה: y = −2x + 10
ג.מצאו את הנקודה שבה השביל חוצה את כביש מזרח-מערב (ציר ה-x), ואת הנקודה שבה הוא חוצה את כביש צפון-דרום (ציר ה-y).
6 נק׳הציגו פתרון
- חיתוך עם ציר ה-x: נציב y=0 במשוואת השביל: 0 = −2x + 10, ומכאן x = 5. נקודת החיתוך: (5, 0).
- חיתוך עם ציר ה-y: נציב x=0: y = −2·0 + 10 = 10. נקודת החיתוך: (0, 10).
תשובה: חוצה את ציר ה-x ב-(5, 0), ואת ציר ה-y ב-(0, 10).
ד.חשבו את שטח המשולש הכלוא בין השביל לבין שני הכבישים (הצירים).
6 נק׳הציגו פתרון
- המשולש נוצר על ידי קטע השביל שבין נקודות החיתוך עם הצירים, וניצביו הם קטעי הצירים מהראשית עד לנקודות החיתוך: אורך 5 (על ציר x) ואורך 10 (על ציר y).
- שטח משולש ישר-זווית: S = (1/2)·ניצב₁·ניצב₂ = (1/2)·5·10 = 25 קמ"ר.
תשובה: 25 קמ"ר.
ה.מתכנן טוען שניתן למקם תחנת מנוחה בדיוק על תוואי השביל, בנקודה D(4, 3). האם צודק? נמקו.
4 נק׳הציגו פתרון
- נציב x=4 במשוואת השביל: y = −2·4 + 10 = 2.
- מכיוון שהתקבל y=2 ולא y=3 (כפי שמוצע בנקודה D), הנקודה D(4,3) אינה מקיימת את משוואת השביל, ולכן אינה נמצאת עליו.
תשובה: לא צודק — הנקודה D אינה נמצאת על תוואי השביל.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.