שאלת מתכונת — שאלון 35372

1. אילוץ העץ: כל רכבת דורשת 2 ק"ג וכל פאזל דורש 3 ק"ג, ובסך הכול יש 30 ק"ג ביום, ולכן 2x + 3y ≤ 30.
2. אילוץ שעות העבודה: כל רכבת דורשת 3 שעות וכל פאזל דורש 2 שעות, ובסך הכול יש 30 שעות ביום, ולכן 3x + 2y ≤ 30.
3. אילוץ קופסאות האריזה: כל מוצר (משני הסוגים) נארז בקופסה אחת, ובסך הכול יש 11 קופסאות ביום, ולכן x + y ≤ 11.
4. מספר המוצרים אינו יכול להיות שלילי, ולכן x ≥ 0 ו-y ≥ 0.

תשובה: 2x + 3y ≤ 30, 3x + 2y ≤ 30, x + y ≤ 11, x ≥ 0, y ≥ 0.

1. נכפול את המשוואה הראשונה ב-3 ואת השנייה ב-2: 6x + 9y = 90, 6x + 4y = 60.
2. נחסר את המשוואות זו מזו: 5y = 30, ומכאן y = 6.
3. נציב y=6 במשוואה 2x+3y=30: 2x + 18 = 30, ולכן 2x = 12, ומכאן x = 6. נקודת החיתוך היא (6, 6).

תשובה: (6, 6)

1. נבדוק את אילוץ הקופסאות בנקודה (6,6): x + y = 6 + 6 = 12.
2. האילוץ דורש x + y ≤ 11, אך התקבל 12 > 11, ולכן הנקודה (6,6) חורגת מהאילוץ ואינה נמצאת בתחום האפשרויות כלל.
3. לכן (6,6) אינה קדקוד של תחום האפשרויות בפועל — אילוץ הקופסאות "חותך" את הפינה הזו.

תשובה: לא — הנקודה (6,6) אינה עומדת באילוץ קופסאות האריזה, ולכן אינה קדקוד של תחום האפשרויות.

1. חיתוך אילוץ שעות העבודה עם אילוץ הקופסאות (3x+2y=30 ו-x+y=11): x=11−y, נציב: 3(11−y)+2y=30, כלומר 33−3y+2y=30, ומכאן y=3, x=8. הנקודה (8,3) מקיימת גם את אילוץ העץ: 2·8+3·3=25≤30 ✓.
2. חיתוך אילוץ העץ עם אילוץ הקופסאות (2x+3y=30 ו-x+y=11): x=11−y, נציב: 2(11−y)+3y=30, כלומר 22−2y+3y=30, ומכאן y=8, x=3. הנקודה (3,8) מקיימת גם את אילוץ שעות העבודה: 3·3+2·8=25≤30 ✓.
3. קדקודי הצירים: (0,0); (10,0) — חיתוך 3x+2y=30 עם y=0; (0,10) — חיתוך 2x+3y=30 עם x=0.
4. נחשב את P בכל קדקוד: (0,0)=0. (10,0)=50. (8,3)=40+12=52. (3,8)=15+32=47. (0,10)=40. הערך הגבוה ביותר הוא 52, המתקבל בנקודה (8,3): יש לייצר 8 רכבות ו-3 פאזלים, ברווח מרבי של 52 ש"ח.

תשובה: יש לייצר 8 רכבות ו-3 פאזלים; הרווח המרבי הוא 52 ש"ח.

1. נחשב את P בנקודה (6,6): P = 5·6+4·6 = 30+24 = 54 ש"ח — גבוה יותר מהרווח המרבי בפועל (52 ש"ח).
2. אולם נקודה זו נפסלה בסעיף ג' כי היא חורגת מאילוץ קופסאות האריזה, ולכן אינה ניתנת למימוש.
3. מסקנה: אילוץ הקופסאות "חוסם" את הפתרון הכדאי ביותר מבחינת עץ ושעות עבודה בלבד, ומכריח את בית המלאכה להסתפק בפתרון (8,3) עם רווח נמוך במעט (52 ש"ח במקום 54 ש"ח) — כלומר האילוץ אכן משנה את הפתרון האופטימלי בפועל.

תשובה: הרווח ב-(6,6) היה 54 ש"ח, גבוה מ-52 ש"ח, אך הנקודה אינה אפשרית — לכן אילוץ הקופסאות מוריד בפועל את הרווח המרבי ל-52 ש"ח.