שאלת מתכונת — שאלון 35372

1. מכיוון ש-M נמצאת על ציר ה-x, נסמנה M(a, 0). דרישת המרחק השווה: MA = MB, ולכן MA² = MB².
2. נציב: (a − 5)² + (0 − 4)² = (a − (−2))² + (0 − 3)².
3. נפתח: (a−5)² + 16 = (a+2)² + 9, כלומר a² − 10a + 25 + 16 = a² + 4a + 4 + 9.
4. נפשט: −10a + 41 = 4a + 13, ומכאן 28 = 14a, כלומר a = 2. מרכז המעגל הוא M(2, 0).

תשובה: M(2, 0)

1. הרדיוס הוא המרחק בין המרכז M(2,0) לנקודה A(5,4) (הנמצאת על המעגל).
2. r = √((5−2)² + (4−0)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

תשובה: r = 5

1. נציב את מרכז M(2,0) ורדיוס r=5 במשוואת המעגל (x−a)²+(y−b)²=r²: (x − 2)² + (y − 0)² = 25, כלומר (x − 2)² + y² = 25.

תשובה: (x − 2)² + y² = 25

1. שיפוע AB: m_AB = (3 − 4)/(−2 − 5) = (−1)/(−7) = 1/7.
2. קו הקוטר המאונך ל-AB עובר דרך מרכז המעגל M(2,0), ושיפועו הוא ההופכי והנגדי לשיפוע AB: m = −1/(1/7) = −7.
3. נציב את M(2,0) בנוסחת הישר: y − 0 = −7(x − 2), כלומר y = −7x + 14.

תשובה: y = −7x + 14

1. נבדוק אם D על המעגל: נציב במשוואת המעגל מסעיף ג': (2−2)² + 5² = 0 + 25 = 25, וזה אכן שווה לרדיוס בריבוע, ולכן D נמצאת על המעגל.
2. נבדוק אם D על קו הקוטר מסעיף ד': נציב x=2 במשוואה y = −7x + 14, ונקבל y = −14 + 14 = 0, ולא 5.
3. מכיוון ש-D אינה מקיימת את משוואת קו הקוטר, היא אינה נמצאת עליו. D אכן נמצאת על המעגל, אך היא נמצאת על קוטר אחר שלו (למשל, הקוטר האנכי דרך המרכז) — לא על הקוטר שמצאנו בסעיף ד'. מעגל מכיל אינסוף קטרים, וכל קוטר מאונך לכיוון אחר.

תשובה: צודק רק בחלקו — D נמצאת על המעגל, אך לא על קו הקוטר מסעיף ד'.