שאלת מתכונת — שאלון 35372

1. נציב P(x)=0: −4x² + 160x − 1200 = 0. נחלק את שני האגפים ב−4: x² − 40x + 300 = 0.
2. נשתמש בנוסחת השורשים עם a=1, b=−40, c=300: הדיסקרימיננטה היא (−40)² − 4·1·300 = 1600 − 1200 = 400, ו-√400=20.
3. x = (40 ± 20)/2, ולכן x = 30 או x = 10.

תשובה: x = 10 או x = 30 (ש"ח).

1. ציר הסימטריה של הפרבולה עובר בדיוק באמצע שני השורשים שמצאנו בסעיף א'.
2. x = (10 + 30)/2 = 20. זהו המחיר שבו מתקבל הרווח המרבי.

תשובה: x = 20 ש"ח.

1. נציב x=20 בפונקציה: P(20) = −4·20² + 160·20 − 1200.
2. נחשב: −4·400 = −1600, ו-160·20=3200, ולכן P(20) = −1600 + 3200 − 1200 = 400 ש"ח.

תשובה: 400 ש"ח.

1. הפרבולה פונה כלפי מטה (מקדם x² שלילי, a=−4), ולכן היא חיובית רק בין שני השורשים שלה.
2. במחיר נמוך מדי (10 ש"ח) הרווח מכל זוג משקפיים קטן מכדי לכסות את עלויות ההפעלה של הדוכן, ובמחיר גבוה מדי (30 ש"ח) מעט מדי לקוחות קונים — בשני המקרים הרווח השבועי יורד עד לאפס.
3. עבור מחירים מתחת ל-10 ש"ח או מעל 30 ש"ח, ערך הפונקציה שלילי, כלומר הדוכן צפוי להפסיד כסף באותם מחירים, ולא רק לא להרוויח.

תשובה: מחוץ לטווח [10,30] הרווח שלילי (הפסד); בתוך הטווח הרווח חיובי, ומקסימלי במחיר 20 ש"ח.

1. נציב x=25: P(25) = −4·25² + 160·25 − 1200 = −4·625 + 4000 − 1200 = −2500 + 4000 − 1200 = 300 ש"ח.
2. מכיוון ש-300 < 400 (הרווח המרבי במחיר 20 ש"ח, מסעיף ג'), העלאת המחיר ל-25 ש"ח דווקא מקטינה את הרווח, ולא מגדילה אותו. הטענה שגויה.

תשובה: הטענה שגויה — הרווח ב-25 ש"ח הוא 300 ש"ח, נמוך מהרווח המרבי (400 ש"ח).