שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. נתון כי f(1)=0, כלומר e¹ − k = 0.
2. מכאן k = e.

תשובה: k = e.

1. הפונקציה f(x)=eˣ−e היא חד-חד-ערכית (עולה ממש, כי f'(x)=eˣ>0 לכל x), ולכן יש לה בדיוק אפס אחד — ומצאנו בסעיף א' שהוא x=1.
2. כלל כללי: הפונקציה |h(x)| אינה גזירה בדיוק בנקודות שבהן h מתאפסת ומחליפה סימן, כאשר h עצמה גזירה ו-h' שונה מאפס שם (יש "קפל" בגרף). כאן f'(1)=e¹=e≠0, ולכן יש קפל אמיתי.
3. לכן g(x)=|f(x)| גזירה בכל x פרט ל-x=1 — הנקודה היחידה שבה f מתאפסת ומחליפה סימן.

תשובה: g אינה גזירה ב-x=1 בלבד.

1. עבור x<1: f(x)<0, ולכן g(x)=−f(x)=e−eˣ. מכיוון ש-eˣ עולה, g=e−eˣ יורדת. כש-x→−∞, eˣ→0, ולכן g(x)→e (מלמטה, כי g=e−eˣ<e תמיד) — הישר y=e הוא אסימפטוטה אופקית של הענף השמאלי.
2. עבור x>1: f(x)>0, ולכן g(x)=f(x)=eˣ−e, שעולה (כי eˣ עולה), מ-0 (ב-x=1) עד ∞ (כש-x→∞).
3. לסיכום: g יורדת בקטע x<1 (מהערך e בקירוב, כש-x→−∞, עד 0 ב-x=1), ועולה בקטע x>1 (מ-0 עד ∞), ולכן x=1 היא נקודת מינימום גלובלית של g, עם g(1)=0.

תשובה: g יורדת בקטע x<1 מ-y→e (כש-x→−∞) עד למינימום g(1)=0, ועולה בקטע x>1 מ-0 עד ∞.

1. בקטע [0,1], g(x)=e−eˣ. בקטע [1,2], g(x)=eˣ−e. יש לפצל את החישוב לשני אינטגרלים.
2. ∫₀¹(e−eˣ)dx = [ex−eˣ]₀¹ = (e·1−e¹) − (e·0−e⁰) = (e−e) − (0−1) = 0−(−1) = 1.
3. ∫₁²(eˣ−e)dx = [eˣ−ex]₁² = (e²−2e) − (e¹−e·1) = (e²−2e) − 0 = e²−2e.
4. סך השטח: 1 + (e²−2e) = e²−2e+1 = (e−1)² יחידות שטח.

תשובה: שטח = (e−1)² יחידות שטח.

1. ∫₀² f(x)dx = [eˣ−ex]₀² = (e²−2e) − (e⁰−0) = (e²−2e) − 1 = e²−2e−1.
2. לעומת זאת השטח בסעיף ד' הוא (e−1)² = e²−2e+1 — הערכים שונים בדיוק ב-2.
3. הסיבה: בקטע [0,1] הפונקציה f שלילית (הגרף מתחת לציר ה-x), ולכן תרומתה לאינטגרל המסומן ∫f היא שלילית (מקזזת), בעוד שבשטח (המחושב באמצעות g=|f|) כל התרומות חיוביות. לכן כדי לחשב שטח בתחום שבו הפונקציה משנה סימן, יש להשתמש בערך המוחלט (או לפצל ולהפוך סימן בקטעים השליליים), ולא באינטגרל המסומן הרגיל.

תשובה: ∫₀² f(x)dx = e²−2e−1, שונה מהשטח (e−1)²=e²−2e+1, כי f משנה סימן בתחום והאינטגרל המסומן מקזז את החלק השלילי.