שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
אדריכלית מתכננת אנדרטת זיכרון בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע. הפירמידה ממוקמת במערכת צירים כך שמרכז הבסיס O נמצא בראשית הצירים, קודקודי הבסיס הם A(6,6,0), B(−6,6,0), C(−6,−6,0), D(6,−6,0) (יחידות: מטרים), והקודקוד העליון E נמצא בגובה 7 מטרים מעל המרכז, כלומר E(0,0,7).
א.רשמו את הווקטורים AB ו-AD כווקטורי קואורדינטות, ואת הווקטור OE (מהמרכז O לקודקוד העליון E). הוכיחו, באמצעות מכפלה סקלרית, כי OE מאונך למישור הבסיס.
6 נק׳הציגו פתרון
- AB = B−A = (−6−6, 6−6, 0−0) = (−12,0,0). AD = D−A = (6−6, −6−6, 0−0) = (0,−12,0). OE = E−O = (0,0,7).
- נחשב את המכפלות הסקלריות: OE·AB = 0·(−12)+0·0+7·0 = 0, ו-OE·AD = 0·0+0·(−12)+7·0 = 0.
- מכיוון ש-OE מאונך לשני הווקטורים AB ו-AD, שאינם מקבילים ופורשים יחד את מישור הבסיס, OE מאונך למישור הבסיס כולו — כלומר הפירמידה היא פירמידה ישרה.
תשובה: AB=(−12,0,0), AD=(0,−12,0), OE=(0,0,7); OE·AB=0 ו-OE·AD=0, ולכן OE מאונך למישור הבסיס.
ב.רשמו את הווקטור AE (הצלע הצדדית) כווקטור קואורדינטות, ומצאו את אורכו.
6 נק׳הציגו פתרון
- AE = E − A = (0−6, 0−6, 7−0) = (−6,−6,7).
- |AE| = √[(−6)²+(−6)²+7²] = √(36+36+49) = √121 = 11.
תשובה: AE = (−6,−6,7); |AE| = 11 מטרים.
ג.הוכיחו, באמצעות מכפלה סקלרית, כי הצלע הצדדית AE מאונכת לאלכסון הבסיס BD.
6 נק׳הציגו פתרון
- נמצא את BD: BD = D − B = (6−(−6), −6−6, 0−0) = (12,−12,0).
- נחשב את המכפלה הסקלרית: AE·BD = (−6)(12)+(−6)(−12)+(7)(0) = −72+72+0 = 0.
- מכיוון שהמכפלה הסקלרית מתאפסת, AE⊥BD.
תשובה: AE·BD = 0, ולכן AE⊥BD.
ד.מצאו את הזווית שבין הצלע הצדדית AE לבין מישור הבסיס, באמצעות הטלת E על מישור הבסיס.
8 נק׳הציגו פתרון
- מכיוון ש-OE מאונך למישור הבסיס (סעיף א'), ההטלה של E על מישור הבסיס היא בדיוק הנקודה O, ולכן ההטלה של הצלע AE על מישור הבסיס היא הקטע AO.
- נמצא את אורך AO: AO = O − A = (−6,−6,0), ולכן |AO| = √(36+36) = √72 = 6√2.
- הזווית α בין AE למישור הבסיס שווה לזווית בין AE להטלתו AO, וזוהי הזווית בקודקוד A במשולש הישר-זווית AOE (הזווית הישרה ב-O). מתקיים tanα = מול/צמוד = |OE|/|AO| = 7/(6√2) = 7√2/12.
תשובה: tanα = 7√2/12 (כאשר α הזווית המבוקשת).
ה.מצאו את נפח הפירמידה.
7 נק׳הציגו פתרון
- אורך צלע הבסיס: |AB| = 12 מטרים (מסעיף א'), ולכן שטח הבסיס (ריבוע) הוא 12² = 144 מ"ר.
- גובה הפירמידה הוא |OE| = 7 מטרים (המרחק מהמרכז O לקודקוד E, המאונך למישור הבסיס לפי סעיף א').
- נפח פירמידה: V = (1/3)·שטח הבסיס·גובה = (1/3)·144·7 = 336 מטרים מעוקבים.
תשובה: 336 מטרים מעוקבים.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.