מצבי פאזה — שורשים רביעיים · מתכונת 35572

1. המודול של −16 הוא |−16|=16, והארגומנט שלו הוא 180° (נמצא על ציר הממשיים השליליים). לכן −16=16(cos180°+i·sin180°).
2. אם z⁴=−16 אז |z|⁴=|−16|=16, ומכיוון ש-|z|≥0, מתקיים |z|=⁴√16=2 (השורש הרביעי החיובי של 16).

תשובה: −16 = 16(cos180°+i sin180°); המודול של כל פתרון הוא 2.

1. לפי נוסחת השורשים של דה-מואבר, הזוויות של ארבעת הפתרונות הן θₖ=(180°+360°k)/4 עבור k=0,1,2,3, כלומר 45°, 135°, 225°, 315°. המודול של כולם הוא 2 (מסעיף א').
2. z₀ = 2(cos45°+isin45°) = 2(√2/2+i√2/2) = √2+√2i.
3. z₁ = 2(cos135°+isin135°) = 2(−√2/2+i√2/2) = −√2+√2i.
4. z₂ = 2(cos225°+isin225°) = 2(−√2/2−i√2/2) = −√2−√2i.
5. z₃ = 2(cos315°+isin315°) = 2(√2/2−i√2/2) = √2−√2i.

תשובה: z₀=√2+√2i, z₁=−√2+√2i, z₂=−√2−√2i, z₃=√2−√2i.

1. לפי סעיף א', כל ארבעת הפתרונות מקיימים |z|=2, ולכן כולם נמצאים על מעגל ברדיוס 2 סביב הראשית במישור גאוס.
2. הזוויות שנמצאו בסעיף ב' הן 45°,135°,225°,315° — כל שתי זוויות סמוכות (בסדר עולה) מרוחקות זו מזו בדיוק 90° (135−45=90, 225−135=90, 315−225=90, וגם 45+360−315=90).

תשובה: כל הפתרונות על מעגל ברדיוס 2 סביב הראשית; המרחק הזוויתי בין כל שני פתרונות סמוכים הוא 90°.

1. נחשב את אורכי הצלעות: |z₀−z₁|=|2√2+0i|=2√2. |z₁−z₂|=|0+2√2i|=2√2. |z₂−z₃|=|−2√2+0i|=2√2. |z₃−z₀|=|0−2√2i|=2√2. ארבע הצלעות שוות זו לזו — המרובע הוא מעוין (רומבוס).
2. נחשב את אורכי האלכסונים: |z₀−z₂|=|2√2+2√2i|=√(8+8)=4. |z₁−z₃|=|−2√2+2√2i|=√(8+8)=4. שני האלכסונים שווים זה לזה.
3. מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות (מעוין) ושאלכסוניו שווים זה לזה, הוא בהכרח ריבוע (מעוין הוא תמיד מקבילית; מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן; מעוין שהוא גם מלבן הוא ריבוע). לכן ארבעת הפתרונות הם קודקודי ריבוע.

תשובה: כל ארבע הצלעות שוות ל-2√2, ושני האלכסונים שווים ל-4 — ולכן זהו ריבוע.

1. נחבר את החלקים הממשיים: √2+(−√2)+(−√2)+√2 = 0. נחבר את החלקים המדומים: √2+√2+(−√2)+(−√2) = 0. לכן z₀+z₁+z₂+z₃ = 0+0i = 0.
2. לפי נוסחת וייטה, במשוואה הפולינומית z⁴+0z³+0z²+0z+16=0, סכום כל השורשים שווה למינוס מקדם z³ חלקי מקדם z⁴, כלומר −0/1=0 — בדיוק מתאים לתוצאה שחושבה ישירות.

תשובה: z₀+z₁+z₂+z₃=0, בהתאמה מלאה לנוסחת וייטה (מקדם z³ במשוואה הוא 0).