שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. נשתמש בנוסחת השורשים עבור az²+bz+c=0 עם a=1, b=−4, c=8: z = [−b ± √(b²−4ac)] / (2a).
2. הדיסקרימיננטה: Δ = b²−4ac = 16 − 32 = −16. מכיוון ש-Δ<0, נכתוב √Δ = √(−16) = √16·√(−1) = 4i.
3. z = [4 ± 4i]/2 = 2 ± 2i. לכן z₁ = 2+2i (חלק מדומה חיובי) ו-z₂ = 2−2i.

תשובה: z₁ = 2+2i, z₂ = 2−2i.

1. הצמוד המרוכב של z₁=2+2i מתקבל בהחלפת סימן החלק המדומה: 2−2i — וזהו בדיוק z₂. לכן z₂ = z̄₁.
2. באופן כללי, כאשר Δ<0, מתקיים √Δ = i√|Δ| (מספר מדומה טהור, כי |Δ| חיובי ממשי). נוסחת השורשים נותנת z = [−b ± i√|Δ|]/(2a) = −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
3. שני הפתרונות חולקים בדיוק את אותו חלק ממשי (−b/(2a)) ונבדלים רק בסימן החלק המדומה (±√|Δ|/(2a)) — וזו בדיוק ההגדרה של זוג מספרים צמודים מרוכבים. לכן בכל משוואה ריבועית ממשית עם Δ<0, שני הפתרונות הם תמיד זוג צמודים.

תשובה: z₂ = z̄₁ (2−2i הוא הצמוד של 2+2i); באופן כללי שני השורשים חולקים אותו חלק ממשי ונבדלים רק בסימן החלק המדומה.

1. |z₁| = √(2²+2²) = √8 = 2√2.
2. החלק הממשי והחלק המדומה של z₁ שווים וחיוביים (2 ו-2), ולכן הזווית (הארגומנט) היא 45° (הרביע הראשון).
3. z₁ = 2√2·(cos45° + i·sin45°).

תשובה: z₁ = 2√2·(cos45° + i·sin45°).

1. דרך 1 (קרטזית): z₁·z₂ = (2+2i)(2−2i) = 2² − (2i)² = 4 − (−4) = 8.
2. דרך 2 (קוטבית): z₂ = 2√2·(cos(−45°) + i·sin(−45°)) (צמוד של z₁, זווית נגדית באותו גודל). |z₁|·|z₂| = 2√2·2√2 = 8, וסכום הזוויות: 45° + (−45°) = 0°. לכן z₁·z₂ = 8·(cos0° + i·sin0°) = 8·(1+0i) = 8.
3. לפי נוסחת ויייטה, עבור z²−4z+8=0 (a=1, c=8), מכפלת השורשים שווה ל-c/a = 8/1 = 8 — בדיוק מתאים לשתי הדרכים.

תשובה: z₁·z₂ = 8 בשתי הדרכים, בהתאמה מלאה ל-c/a = 8/1 = 8.

1. נציב z=x+iy: |z−z₁| = |(x−2)+i(y−2)| = √[(x−2)²+(y−2)²]. |z−z₂| = |(x−2)+i(y+2)| = √[(x−2)²+(y+2)²].
2. נשווה ונעלה בריבוע: (x−2)²+(y−2)² = (x−2)²+(y+2)². נצמצם את (x−2)² משני האגפים: (y−2)² = (y+2)².
3. נפתח: y²−4y+4 = y²+4y+4. נצמצם y² ו-4 משני האגפים: −4y = 4y, ומכאן −8y = 0, כלומר y = 0.
4. זהו בדיוק ציר ה-x — וזה הגיוני: מכיוון ש-z₁ ו-z₂ צמודים (סימטריים ביחס לציר הממשי), כל נקודה על ציר הממשי מרוחקת מרחק שווה משניהם, וכל נקודה מחוץ לציר קרובה יותר לאחד מהם.

תשובה: ציר ה-x (y=0).