שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
בפתרון בעיה בהנדסת חשמל (חישוב תדר תהודה במעגל) התקבלה המשוואה הריבועית z² − 4z + 8 = 0, כאשר z מספר מרוכב.
א.פתרו את המשוואה הריבועית z² − 4z + 8 = 0 (באמצעות נוסחת השורשים), ורשמו את שני הפתרונות z₁, z₂ בהצגה קרטזית (מהצורה a+bi), כך ש-z₁ הוא הפתרון עם החלק המדומה החיובי.
6 נק׳הציגו פתרון
- נשתמש בנוסחת השורשים עבור az²+bz+c=0 עם a=1, b=−4, c=8: z = [−b ± √(b²−4ac)] / (2a).
- הדיסקרימיננטה: Δ = b²−4ac = 16 − 32 = −16. מכיוון ש-Δ<0, נכתוב √Δ = √(−16) = √16·√(−1) = 4i.
- z = [4 ± 4i]/2 = 2 ± 2i. לכן z₁ = 2+2i (חלק מדומה חיובי) ו-z₂ = 2−2i.
תשובה: z₁ = 2+2i, z₂ = 2−2i.
ב.הראו כי z₂ הוא הצמוד המרוכב של z₁, והסבירו באופן כללי (בעזרת נוסחת השורשים) מדוע לכל משוואה ריבועית az²+bz+c=0 עם מקדמים ממשיים a,b,c ודיסקרימיננטה Δ=b²−4ac שלילית, שני הפתרונות הם תמיד זוג צמודים מרוכבים. נמקו את תשובתכם.
6 נק׳הציגו פתרון
- הצמוד המרוכב של z₁=2+2i מתקבל בהחלפת סימן החלק המדומה: 2−2i — וזהו בדיוק z₂. לכן z₂ = z̄₁.
- באופן כללי, כאשר Δ<0, מתקיים √Δ = i√|Δ| (מספר מדומה טהור, כי |Δ| חיובי ממשי). נוסחת השורשים נותנת z = [−b ± i√|Δ|]/(2a) = −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
- שני הפתרונות חולקים בדיוק את אותו חלק ממשי (−b/(2a)) ונבדלים רק בסימן החלק המדומה (±√|Δ|/(2a)) — וזו בדיוק ההגדרה של זוג מספרים צמודים מרוכבים. לכן בכל משוואה ריבועית ממשית עם Δ<0, שני הפתרונות הם תמיד זוג צמודים.
תשובה: z₂ = z̄₁ (2−2i הוא הצמוד של 2+2i); באופן כללי שני השורשים חולקים אותו חלק ממשי ונבדלים רק בסימן החלק המדומה.
ג.הציגו את z₁ בהצגה קוטבית (טריגונומטרית).
7 נק׳הציגו פתרון
- |z₁| = √(2²+2²) = √8 = 2√2.
- החלק הממשי והחלק המדומה של z₁ שווים וחיוביים (2 ו-2), ולכן הזווית (הארגומנט) היא 45° (הרביע הראשון).
- z₁ = 2√2·(cos45° + i·sin45°).
תשובה: z₁ = 2√2·(cos45° + i·sin45°).
ד.חשבו את המכפלה z₁·z₂ בשתי דרכים — (1) ישירות בהצגה הקרטזית, (2) באמצעות ההצגה הקוטבית (הכפלת גדלים וחיבור זוויות) — והראו כי שתי הדרכים מתאימות לתוצאה הצפויה לפי נוסחת ויֶיטה (מכפלת השורשים = c/a) עבור המשוואה המקורית.
7 נק׳הציגו פתרון
- דרך 1 (קרטזית): z₁·z₂ = (2+2i)(2−2i) = 2² − (2i)² = 4 − (−4) = 8.
- דרך 2 (קוטבית): z₂ = 2√2·(cos(−45°) + i·sin(−45°)) (צמוד של z₁, זווית נגדית באותו גודל). |z₁|·|z₂| = 2√2·2√2 = 8, וסכום הזוויות: 45° + (−45°) = 0°. לכן z₁·z₂ = 8·(cos0° + i·sin0°) = 8·(1+0i) = 8.
- לפי נוסחת ויייטה, עבור z²−4z+8=0 (a=1, c=8), מכפלת השורשים שווה ל-c/a = 8/1 = 8 — בדיוק מתאים לשתי הדרכים.
תשובה: z₁·z₂ = 8 בשתי הדרכים, בהתאמה מלאה ל-c/a = 8/1 = 8.
ה.מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iy במישור גאוס המקיימות |z−z₁| = |z−z₂| (כלומר, נקודות המרוחקות באותו מרחק משני השורשים), והראו כי מתקבל בדיוק ציר ה-x (ציר הממשיים).
7 נק׳הציגו פתרון
- נציב z=x+iy: |z−z₁| = |(x−2)+i(y−2)| = √[(x−2)²+(y−2)²]. |z−z₂| = |(x−2)+i(y+2)| = √[(x−2)²+(y+2)²].
- נשווה ונעלה בריבוע: (x−2)²+(y−2)² = (x−2)²+(y+2)². נצמצם את (x−2)² משני האגפים: (y−2)² = (y+2)².
- נפתח: y²−4y+4 = y²+4y+4. נצמצם y² ו-4 משני האגפים: −4y = 4y, ומכאן −8y = 0, כלומר y = 0.
- זהו בדיוק ציר ה-x — וזה הגיוני: מכיוון ש-z₁ ו-z₂ צמודים (סימטריים ביחס לציר הממשי), כל נקודה על ציר הממשי מרוחקת מרחק שווה משניהם, וכל נקודה מחוץ לציר קרובה יותר לאחד מהם.
תשובה: ציר ה-x (y=0).
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של GeekHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.