שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. כלל המכפלה: (uv)'=u'v+uv', כאשר u=x, u'=1, v=e^(−x²), v'=−2x·e^(−x²) (לפי כלל השרשרת).
2. f'(x) = 1·e^(−x²) + x·(−2x·e^(−x²)) = e^(−x²) − 2x²e^(−x²) = e^(−x²)(1−2x²).

תשובה: f'(x) = e^(−x²)·(1−2x²).

1. נשווה f'(x)=0: e^(−x²)(1−2x²)=0. מכיוון ש-e^(−x²)>0 תמיד, יש לפתור 1−2x²=0, ומכאן x²=1/2, כלומר x=±√2/2.
2. סימן f' נקבע לפי סימן (1−2x²): חיובי בקטע −√2/2<x<√2/2, שלילי מחוצה לו.
3. ב-x=−√2/2 הנגזרת עוברת משלילית לחיובית — נקודת מינימום. ב-x=√2/2 הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית — נקודת מקסימום.
4. f(±√2/2) = (±√2/2)·e^(−1/2) = ±√2/(2√e) = ±1/√(2e). לכן המינימום ב-(−√2/2, −1/√(2e)) והמקסימום ב-(√2/2, 1/√(2e)).

תשובה: מינימום מקומי ב-(−√2/2, −1/√(2e)); מקסימום מקומי ב-(√2/2, 1/√(2e)).

1. נציב −x: f(−x) = (−x)·e^(−(−x)²) = −x·e^(−x²) = −f(x) לכל x, ולכן f אי-זוגית וגרפה סימטרי ביחס לראשית הצירים.
2. בגלל הסימטריה ביחס לראשית, אם ל-f יש קיצון בנקודה x₀ עם ערך y₀, חייב להיות לה קיצון מהסוג ההפוך גם ב-−x₀ עם ערך −y₀ — בדיוק מה שנמצא בסעיף ב' (המינימום והמקסימום סימטריים זה לזה ביחס לראשית).

תשובה: f(−x)=−f(x) לכל x, ולכן f אי-זוגית; זה מסביר מדוע נקודות הקיצון סימטריות (אותו x בערך מוחלט, ערכי y הפוכים).

1. מסעיף ב', הערך המקסימלי הגלובלי של f (על כל הישר הממשי, לפי ניתוח סימן f' בכל התחום) הוא f(√2/2)=1/√(2e).
2. נשווה 1/√(2e) ל-1/2: זה שקול להשוואת √(2e) ל-2, ולכן ל-2e מול 4, כלומר ל-e מול 2.
3. ידוע כי e≈2.718>2, ולכן 2e>4, ולכן √(2e)>2, ולכן 1/√(2e)<1/2.
4. מכיוון שהערך המקסימלי של f קטן מ-1/2, הפונקציה f אינה מקבלת אף פעם ערך הגדול מ-1/2.

תשובה: לא — הערך המקסימלי של f קטן מ-1/2.

1. נוודא כי F קדומה של f: F'(x) = −½·(−2x)·e^(−x²) = x·e^(−x²) = f(x). ✓
2. בתחום 0≤x≤1 מתקיים f(x)≥0 (כי x≥0 ו-e^(−x²)>0), ולכן האינטגרל המסומן שווה לשטח.
3. שטח = F(1)−F(0) = (−½e^(−1)) − (−½e⁰) = −1/(2e) + 1/2 = 1/2 − 1/(2e) = (e−1)/(2e).

תשובה: שטח = (e−1)/(2e) יחידות שטח.