שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
בניתוח מודל צמיחה כלכלי, פונקציה f(x) = eˣ − kx מתארת את הפער (ביחידות מתאימות) בין שני מסלולי צמיחה חלופיים, כפונקציה של הזמן x, כאשר k פרמטר המייצג קצב צמיחה ליניארי מתחרה. בודקים את הפונקציה עבור כל ערכי x הממשיים, ועבור כל ערך ממשי של הפרמטר k.
א.מצאו את f'(x). הוכיחו כי במקרה k≤0 מתקיים f'(x)>0 לכל x — כלומר ש-f עולה ממש בכל הישר הממשי, ואין לה כלל נקודות קיצון.
6 נק׳הציגו פתרון
- f'(x) = eˣ − k.
- אם k≤0, אז −k≥0, ולכן f'(x) = eˣ + (−k) ≥ eˣ > 0 (כי eˣ>0 לכל x ממשי, ו-−k≥0 רק מוסיף עוד ערך אי-שלילי).
- לכן f'(x)>0 לכל x כאשר k≤0 — f עולה ממש בכל הישר הממשי, ומכיוון ש-f' לעולם אינה מתאפסת (eˣ=k בלתי אפשרי כאשר k≤0, כי eˣ>0 תמיד), אין לה אף נקודת קיצון.
תשובה: f'(x)=eˣ−k; עבור k≤0, f'(x)>0 לכל x, ואין נקודות קיצון.
ב.הוכיחו כי במקרה k>0 יש בדיוק נקודת קיצון אחת לפונקציה, מצאו אותה (בהצגה מדויקת עם ln), וקבעו — באמצעות בדיקת סימן f' — כי מדובר בנקודת מינימום.
6 נק׳הציגו פתרון
- נשווה f'(x)=0: eˣ−k=0, כלומר eˣ=k. מכיוון ש-eˣ פונקציה חד-חד-ערכית המקבלת כל ערך חיובי בדיוק פעם אחת, וכיוון ש-k>0, קיים פתרון יחיד x=ln k.
- סימן f'(x)=eˣ−k: עבור x<ln k, eˣ<k (כי eˣ עולה), ולכן f'(x)<0 (יורדת). עבור x>ln k, eˣ>k, ולכן f'(x)>0 (עולה). הנגזרת עוברת משלילית לחיובית — לכן x=ln k היא נקודת מינימום (ויחידה, כי זה הפתרון היחיד של f'=0).
תשובה: נקודת מינימום יחידה ב-x=ln k.
ג.מצאו ביטוי מדויק לערך המינימום f(ln k) (עבור k>0). מצאו את תחום הערכים של k (k>0) שעבורו ערך המינימום חיובי, את התחום שבו הוא שלילי, ואת הערך המדויק של k (ערך הסף) שעבורו ערך המינימום הוא אפס בדיוק.
7 נק׳הציגו פתרון
- f(ln k) = e בחזקת (ln k) − k·ln k = k − k·ln k = k(1−ln k) (שימוש בזהות ההופכית: e בחזקת (ln k) שווה k).
- מכיוון ש-k>0, סימן הביטוי k(1−ln k) נקבע לפי הגורם (1−ln k): חיובי ⟺ ln k<1 ⟺ k<e; אפס ⟺ ln k=1 ⟺ k=e; שלילי ⟺ ln k>1 ⟺ k>e.
- לכן: 0<k<e — ערך המינימום חיובי; k=e — ערך המינימום אפס בדיוק (זהו ערך הסף); k>e — ערך המינימום שלילי.
תשובה: f(ln k)=k(1−ln k); חיובי עבור 0<k<e, שלילי עבור k>e, אפס בדיוק ב-k=e (ערך הסף).
ד.מצאו את lim(x→−∞) f(x) ו-lim(x→∞) f(x) עבור k>0 (שניהם), והוכיחו — בהתבסס על סעיף ג' וצורת הגרף — כי מספר הפתרונות של המשוואה eˣ=kx (כלומר f(x)=0) הוא: אין פתרונות עבור 0<k<e; פתרון יחיד עבור k=e; שני פתרונות עבור k>e.
7 נק׳הציגו פתרון
- כש-x→−∞ (k>0 קבוע): eˣ→0, ואילו −kx→∞ (כי −k<0 ו-x→−∞, כך שהמכפלה −k·x שואפת לפלוס אינסוף). לכן f(x)=eˣ−kx → 0+∞ = ∞.
- כש-x→∞: eˣ שואפת לאינסוף מהר בהרבה מכל פונקציה ליניארית (עובדה ידועה על קצבי גדילה), ולכן f(x)=eˣ−kx → ∞ גם כאן.
- כלומר, עבור k>0, f יורדת מ-∞ (כש-x→−∞) עד למינימום ב-x=ln k (סעיף ב'), ואז עולה שוב עד ∞ (כש-x→∞) — צורת "עמק" עם מינימום יחיד.
- אם 0<k<e (מינימום חיובי, סעיף ג'): כל ערכי f בשני הענפים גדולים מהמינימום החיובי, ולכן f(x)>0 לכל x — אין פתרונות ל-f(x)=0.
- אם k=e (מינימום אפס): f נוגעת באפס בדיוק בנקודת המינימום (x=ln e=1) וחיובית בכל מקום אחר — פתרון יחיד.
- אם k>e (מינימום שלילי): f יורדת מ-∞ אל ערך שלילי בקטע (−∞,ln k) — לפי משפט ערך הביניים, ומכיוון ש-f יורדת ממש שם, יש בדיוק חיתוך אחד עם ציר ה-x בקטע זה; ובאופן דומה f עולה מהערך השלילי חזרה ל-∞ בקטע (ln k,∞), כך שיש שם בדיוק חיתוך נוסף אחד. סה"כ שני פתרונות.
תשובה: שני הגבולות הם ∞; 0<k<e: 0 פתרונות; k=e: פתרון יחיד; k>e: שני פתרונות.
ה.השלימו את התמונה עבור k≤0: הוכיחו, באמצעות סעיף א' וגבולות מתאימים, כי עבור k<0 יש בדיוק פתרון אחד למשוואה eˣ=kx, ואילו עבור k=0 אין אף פתרון.
7 נק׳הציגו פתרון
- עבור k<0: כש-x→−∞, eˣ→0 ו-−kx→−∞ (כי −k>0 ו-x→−∞, כך שהמכפלה −k·x שואפת למינוס אינסוף). לכן f(x)→0+(−∞)=−∞. כש-x→∞, eˣ שואפת לאינסוף (וגם −kx→∞ כי −k>0), ולכן f(x)→∞.
- לפי סעיף א', עבור k≤0 (ובפרט k<0), f עולה ממש בכל הישר הממשי וגם רציפה. מכיוון ש-f עולה מ−∞ עד ∞ ברציפות וממש, לפי משפט ערך הביניים ומונוטוניות ממש, קיים בדיוק פתרון יחיד למשוואה f(x)=0.
- עבור k=0: f(x)=eˣ (כי −kx=0), וידוע כי eˣ>0 לכל x ממשי — המשוואה eˣ=0 אינה פתירה כלל, ולכן אין אף פתרון.
תשובה: k<0: פתרון יחיד; k=0: אין פתרונות.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.