שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. במלבן ABCD, המשולש ABC ישר-זווית בקודקוד B. לפי משפט פיתגורס: AC² = AB² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, ולכן AC = 10 מטרים.
2. באלכסוני מלבן — שהם שווים באורכם וחוצים זה את זה — O היא נקודת האמצע של AC, ולכן OA = AC/2 = 5 מטרים.

תשובה: AC = 10 מטרים; OA = 5 מטרים.

1. באלכסוני מלבן, שני האלכסונים שווים באורכם וחוצים זה את זה בנקודה O — ולכן O מרוחקת מרחק שווה מארבעת הקודקודים: OA=OB=OC=OD=5 מטרים (מסעיף א').
2. הקודקוד E נמצא בגובה משותף OE=12 מטרים מעל O, ו-OE מאונך למישור הבסיס (נתון: הפירמידה ישרה). לכן כל אחד מהמשולשים EOA, EOB, EOC, EOD ישר-זווית בקודקוד O, עם ניצב משותף OE=12 וניצב שני מאורך 5.
3. לפי משפט פיתגורס, בכל אחד מארבעת המשולשים: הצלע הצדדית = √(OE²+5²) = √(144+25) = √169 = 13 מטרים — אותה תוצאה בדיוק בכל ארבעת המקרים, ולכן EA=EB=EC=ED=13 מטרים.

תשובה: EA=EB=EC=ED=13 מטרים.

1. מכיוון ש-OE מאונך למישור הבסיס, ההטלה של E על מישור הבסיס היא הנקודה O, ולכן ההטלה של EA על הבסיס היא OA.
2. הזווית θ בין EA למישור הבסיס שווה לזווית בין EA להטלתו OA, וזוהי הזווית בקודקוד A במשולש הישר-זווית EOA (הזווית הישרה ב-O).
3. מתקיים tanθ = מול/צמוד = EO/OA = 12/5.

תשובה: tanθ = 12/5 (כאשר θ הזווית המבוקשת).

1. במשולש AEC ידועות שלוש הצלעות: EA=13, EC=13 (מסעיף ב'), ו-AC=10 (מסעיף א', האלכסון שמול הזווית AEC).
2. לפי משפט הקוסינוסים: AC² = EA² + EC² − 2·EA·EC·cos(∠AEC).
3. נציב: 10² = 13² + 13² − 2·13·13·cos(∠AEC), כלומר 100 = 169+169 − 338·cos(∠AEC) = 338 − 338·cos(∠AEC).
4. נבודד: 338·cos(∠AEC) = 338 − 100 = 238, ומכאן cos(∠AEC) = 238/338 = 119/169.

תשובה: cos(∠AEC) = 119/169.

1. שטח בסיס המלבן: AB·BC = 8·6 = 48 מ"ר.
2. גובה הפירמידה הוא OE = 12 מטרים (המאונך למישור הבסיס).
3. נפח פירמידה: V = (1/3)·שטח הבסיס·גובה = (1/3)·48·12 = 192 מטרים מעוקבים.

תשובה: 192 מטרים מעוקבים.