משדרי סונאר — מקום גאומטרי · מתכונת 35572

1. נסמנו P(x,y). לפי נוסחת המרחק: PA=√(x²+y²), PB=√[(x−6)²+y²]. התנאי PA=½PB שקול ל-2PA=PB, ולאחר העלאה בריבוע (שני האגפים אי-שליליים): 4PA²=PB².
2. נציב: 4(x²+y²) = (x−6)²+y² = x²−12x+36+y².
3. נעביר אגף ונצמצם: 4x²+4y²−x²+12x−36−y²=0, כלומר 3x²+3y²+12x−36=0. נחלק ב-3: x²+y²+4x−12=0.
4. נשלים לריבוע: (x²+4x+4)+y² = 12+4, כלומר (x+2)²+y²=16. זוהי משוואת מעגל שמרכזו (−2,0) ורדיוסו √16=4.

תשובה: מעגל שמרכזו (−2,0) ורדיוסו 4; משוואתו (x+2)²+y²=16.

1. נבדוק את משוואת המעגל: (0+2)²+(2√3)²=4+12=16. ✓ ולכן Q נמצאת על המעגל.
2. נחשב את QA: המרחק בין Q(0,2√3) ל-A(0,0) הוא √(0²+(2√3)²)=√12=2√3.
3. נחשב את QB: המרחק בין Q(0,2√3) ל-B(6,0) הוא √(6²+(2√3)²)=√(36+12)=√48=4√3.
4. היחס: QA/QB = 2√3/4√3 = 1/2, כלומר QA=½QB — בדיוק תנאי הכיול המקורי.

תשובה: Q על המעגל, כי (0+2)²+(2√3)²=16; ואכן QA=2√3, QB=4√3, כך ש-QA=½QB.

1. נגזור באופן סתום את (x+2)²+y²=16 לפי x: 2(x+2)+2y·y'=0, ומכאן y'=−(x+2)/y.
2. נציב את הנקודה Q(0,2√3): y'(Q) = −(0+2)/(2√3) = −2/(2√3) = −1/√3.
3. משוואת המשיק: y−2√3 = −(1/√3)(x−0), כלומר y = 2√3 − x/√3.
4. נכפול את שני האגפים ב-√3: √3·y = 2·3 − x = 6−x, כלומר x+√3y=6.

תשובה: x+√3y=6.

1. שיפוע הקטע MQ, בין M(−2,0) ל-Q(0,2√3): (2√3−0)/(0−(−2)) = 2√3/2 = √3.
2. שיפוע המשיק (מסעיף ג', מהצורה y=2√3−x/√3): −1/√3.
3. מכפלת השיפועים: √3·(−1/√3) = −1.
4. מכיוון שמכפלת השיפועים שווה ל−1, הקטע MQ (הרדיוס בנקודת ההשקה) מאונך למשיק — בהתאם לתכונה הגאומטרית הכללית של מעגלים.

תשובה: שיפוע MQ הוא √3, שיפוע המשיק −1/√3, ומכפלתם −1 — ולכן הם מאונכים.

1. נסמנו P(x,y). כמו בסעיף א', התנאי PA=k·PB (עם k>0 קבוע) שקול ל-PA²=k²PB², כלומר x²+y² = k²[(x−d)²+y²].
2. נפתח: x²+y² = k²x²−2k²dx+k²d²+k²y². נעביר אגף: x²(1−k²)+y²(1−k²)+2k²dx−k²d²=0.
3. מכיוון ש-k≠1, מתקיים 1−k²≠0, ולכן ניתן לחלק ב-(1−k²): x²+y² + [2k²d/(1−k²)]x − k²d²/(1−k²) = 0.
4. זוהי משוואה מהצורה x²+y²+Dx+E=0 (עם אותו מקדם 1 עבור x² ועבור y², וללא איבר xy), כאשר D=2k²d/(1−k²) ו-E=−k²d²/(1−k²). נשלים לריבוע: (x+D/2)²+y² = D²/4−E, כלומר המרכז הוא (−D/2, 0) = (−k²d/(1−k²), 0). מכיוון ששיעור ה-y של המרכז הוא תמיד 0, המרכז נמצא תמיד על ציר ה-x (הישר AB), לכל d>0 ולכל k≠1.
5. נוודא שאכן מדובר במעגל ולא בקבוצה ריקה או בנקודה: D²/4−E = k⁴d²/(1−k²)² + k²d²/(1−k²) = k²d²·[k²+(1−k²)]/(1−k²)² = k²d²/(1−k²)². ביטוי זה חיובי ממש (כי k>0 ו-d>0), ולכן הרדיוס הוא kd/|1−k²|>0 — מקום גאומטרי שהוא מעגל אמיתי.
6. נציב d=6, k=½: k²=1/4, 1−k²=3/4. המקדם D = 2·(1/4)·6/(3/4) = 3/(3/4) = 4, והאיבר החופשי E = −(1/4)·36/(3/4) = −9/(3/4) = −12. מתקבל x²+y²+4x−12=0 — בדיוק המשוואה שנמצאה בסעיף א' (שם היא הוצגה בצורה (x+2)²+y²=16, השקולה לחלוטין). גם הרדיוס תואם: kd/|1−k²| = (½·6)/(3/4) = 4.

תשובה: לכל d>0 ו-k≠1 מתקבל מעגל שמרכזו על ציר ה-x; עבור d=6,k=½ מתקבל בדיוק x²+y²+4x−12=0.