שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. cos60° = 1/2 ו-sin60° = √3/2.
2. z = 2·(1/2 + i·√3/2) = 1 + √3·i.

תשובה: z = 1 + √3·i.

1. לפי משפט דה-מואבר: z⁶ = 2⁶·(cos(6·60°) + i·sin(6·60°)) = 64·(cos360° + i·sin360°).
2. cos360° = 1, sin360° = 0, ולכן z⁶ = 64·(1+0i) = 64.

תשובה: z⁶ = 64.

1. נציג את 64 בהצגה קוטבית: 64 = 64·(cos0° + i·sin0°). לפי נוסחת השורשים, |w| = ∛64 = 4.
2. הזוויות: θₖ = (0°+360°k)/3 עבור k=0,1,2, כלומר 0°, 120°, 240°.
3. w₀ = 4(cos0°+isin0°) = 4. w₁ = 4(cos120°+isin120°) = 4(−1/2+i√3/2) = −2+2√3i. w₂ = 4(cos240°+isin240°) = 4(−1/2−i√3/2) = −2−2√3i.
4. שלושת הפתרונות נמצאים כולם על מעגל ברדיוס 4 סביב הראשית במישור גאוס, במרחקי זווית שווים של 120° זה מזה — כלומר הם קודקודי משולש שווה-צלעות החסום במעגל.

תשובה: w₀=4, w₁=−2+2√3·i, w₂=−2−2√3·i; שלוש נקודות על מעגל ברדיוס 4 סביב הראשית, מרחק זווית של 120° בין כל שתיים סמוכות (קודקודי משולש שווה-צלעות).

1. נחבר את שלושת הפתרונות: w₀+w₁+w₂ = 4 + (−2+2√3i) + (−2−2√3i).
2. נחבר את החלקים הממשיים: 4−2−2 = 0. נחבר את החלקים המדומים: 2√3−2√3 = 0.
3. לכן w₀+w₁+w₂ = 0+0i = 0.

תשובה: w₀+w₁+w₂ = 0.

1. הביטוי |z−(3+4i)|=5 מתאר את כל הנקודות z במישור גאוס המרוחקות מרחק קבוע 5 מהנקודה (3,4) — כלומר מעגל שמרכזו (3,4) ורדיוסו 5.
2. נבדוק אם הראשית (z=0) מקיימת את המשוואה: |0−(3+4i)| = |−3−4i| = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5.
3. מכיוון שהמרחק מהראשית ל-(3,4) שווה בדיוק ל-5, הראשית שייכת למעגל.

תשובה: מעגל שמרכזו (3,4) ורדיוסו 5; הראשית נמצאת על המעגל, כי |0−(3+4i)|=5.