שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. R(p) = p·N(p) = p·400·e בחזקת (−p/20) = 400p·e בחזקת (−p/20).
2. מכיוון ש-p מייצג מחיר מכירה, התחום הרלוונטי מבחינה מעשית הוא p≥0.

תשובה: R(p) = 400p·e בחזקת (−p/20); תחום רלוונטי: p≥0.

1. כלל המכפלה: (uv)'=u'v+uv', כאשר u=400p, u'=400, v=e בחזקת (−p/20), v'=(−1/20)·e בחזקת (−p/20) (כלל השרשרת).
2. R'(p) = 400·e בחזקת (−p/20) + 400p·(−1/20)·e בחזקת (−p/20) = 400·e בחזקת (−p/20) − 20p·e בחזקת (−p/20) = e בחזקת (−p/20)·(400−20p).
3. נוציא גורם משותף 20: R'(p) = 20·e בחזקת (−p/20)·(20−p).

תשובה: R'(p) = 20·e בחזקת (−p/20)·(20−p).

1. נשווה R'(p)=0: מכיוון ש-20·e בחזקת (−p/20) > 0 לכל p, יש לפתור 20−p=0, ומכאן p=20.
2. סימן R'(p) נקבע לפי (20−p): עבור 0≤p<20, 20−p>0 ולכן R'(p)>0 (עולה); עבור p>20, 20−p<0 ולכן R'(p)<0 (יורדת). הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב-p=20 — נקודת מקסימום.
3. מכיוון ש-R עולה ממש בכל הקטע [0,20) ויורדת ממש בכל הקטע (20,∞), ואין נקודות קיצון נוספות בתחום p≥0, p=20 היא נקודת המקסימום הגלובלית של R בכל התחום.

תשובה: p = 20 ש"ח, ומדובר במקסימום גלובלי.

1. R(20) = 400·20·e בחזקת (−20/20) = 8000·e⁻¹ = 8000/e ש"ח — זהו הביטוי המדויק.
2. לפי הקירוב e≈2.718: R(20) ≈ 8000/2.718 ≈ 2943.3, ולכן ההכנסה המרבית המשוערת היא כ-2943 ש"ח בחודש.

תשובה: R(20) = 8000/e ש"ח ≈ 2943 ש"ח.

1. R(40) = 400·40·e בחזקת (−40/20) = 16000·e⁻² = 16000/e².
2. R(40)/R(20) = (16000/e²) / (8000/e) = (16000/8000)·(e/e²) = 2·(1/e) = 2/e.
3. ידוע כי e≈2.718>2, ולכן 2/e<1 — היחס R(40)/R(20) קטן מ-1, כלומר R(40)<R(20).
4. לכן המנהל טעה: העלאת המחיר ל-40 ש"ח אינה מכפילה את ההכנסה — להפך, ההכנסה קטנה לעומת המחיר האופטימלי p=20, מכיוון שהירידה בביקוש (הדעיכה המעריכית) גוברת על העלייה במחיר.

תשובה: R(40)/R(20) = 2/e < 1 — המנהל טעה; ההכנסה יורדת ולא מוכפלת.