שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
מדען נתונים בוחן איבר החוזר על עצמו רבות בתורת האינפורמציה (מבוסס על "אנטרופיית שאנון"), המתואר על ידי הפונקציה f(x) = x·ln x, כאשר x מוגדרת בתחום המתמטי המורחב x>0.
א.רשמו את תחום ההגדרה של f, ומצאו את f'(x) באמצעות כלל המכפלה.
5 נק׳הציגו פתרון
- הביטוי ln x מוגדר רק עבור x>0, ולכן תחום ההגדרה של f הוא x>0.
- כלל המכפלה: (uv)'=u'v+uv', כאשר u=x, u'=1, v=ln x, v'=1/x.
- f'(x) = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1.
תשובה: תחום ההגדרה: x>0; f'(x) = ln x + 1.
ב.מצאו את נקודת הקיצון של f (פתרו f'(x)=0), וקבעו — באמצעות בדיקת סימן f' — האם היא נקודת מינימום או מקסימום.
7 נק׳הציגו פתרון
- נשווה f'(x)=0: ln x + 1 = 0, ומכאן ln x = −1, כלומר x = e⁻¹ = 1/e.
- עבור 0<x<1/e: ln x < −1, ולכן f'(x)<0 (יורדת). עבור x>1/e: ln x > −1, ולכן f'(x)>0 (עולה). הנגזרת עוברת משלילית לחיובית — נקודת מינימום.
- f(1/e) = (1/e)·ln(1/e) = (1/e)·(−1) = −1/e. נקודת המינימום היא (1/e, −1/e).
תשובה: נקודת מינימום ב-(1/e, −1/e).
ג.מצאו את f''(x), והוכיחו כי גרף f קעור כלפי מעלה בכל תחום הגדרתו (x>0) — ומכאן שנקודת הקיצון מסעיף ב' היא מינימום גלובלי (לא רק מקומי) בכל התחום.
6 נק׳הציגו פתרון
- נגזור את f'(x)=ln x + 1: f''(x) = 1/x.
- עבור x>0 מתקיים תמיד 1/x > 0, ולכן f''(x)>0 לכל x בתחום ההגדרה — כלומר גרף f קעור כלפי מעלה בכל התחום, ללא כל שינוי בקעירות (אין נקודות פיתול, כי f'' לעולם אינה מתאפסת או מחליפה סימן).
- מכיוון שהגרף קעור כלפי מעלה בכל התחום (לא רק בסביבת נקודת הקיצון), נקודת המינימום (1/e,−1/e) שנמצאה בסעיף ב' היא בהכרח מינימום גלובלי של f על כל תחום ההגדרה x>0.
תשובה: f''(x) = 1/x > 0 לכל x>0, ולכן f קעורה כלפי מעלה בכל התחום; אין נקודות פיתול.
ד.הראו כי lim(x→0⁺) f(x) = 0 (כלומר, אף שה-ln x שואף ל−∞ כש-x→0⁺, המכפלה x·ln x דווקא שואפת ל-0). הסבירו את התוצאה באמצעות ההצבה x=e בחזקת (−t) עבור t→∞.
7 נק׳הציגו פתרון
- נציב x = e בחזקת (−t): כאשר x→0⁺ מתקיים t→∞ (כי x קטן מאוד כאשר המעריך השלילי גדול מאוד בערכו המוחלט).
- f(x) = x·ln x = e בחזקת (−t)·ln(e בחזקת (−t)) = e בחזקת (−t)·(−t) = −t/eᵗ = −t·e בחזקת (−t).
- כש-t→∞, הפונקציה המעריכית eᵗ גדלה מהר בהרבה מכל חזקה של t (כולל t עצמו) — עובדה הידועה על קצב גדילת האקספוננט, ולכן t·e בחזקת (−t) = t/eᵗ → 0, כלומר גם −t·e בחזקת (−t) → 0.
- לכן lim(x→0⁺) f(x) = lim(t→∞) [−t·e בחזקת (−t)] = 0 — הגורם x השואף ל-0 "מנצח" את הגורם ln x השואף ל−∞.
תשובה: lim(x→0⁺) x·ln x = 0.
ה.מצאו את כל הערכים של x שעבורם f(x)=0, ותארו במילים סקיצה מלאה של גרף f בתחום x>0, בהתבסס על תוצאות סעיפים ב', ג', ד' (התנהגות ליד x=0, ירידה ועלייה, קעירות, וחיתוך עם ציר ה-x).
8 נק׳הציגו פתרון
- f(x)=x·ln x=0 ⟺ x=0 (לא בתחום ההגדרה, כי x>0) או ln x=0 ⟺ x=1. לכן הפתרון היחיד בתחום ההגדרה הוא x=1 (ואכן f(1)=1·ln1=1·0=0).
- סקיצה: בקרבת x=0⁺, f(x)→0 (סעיף ד'), אך f(x)<0 שם (כי ln x<0 כאשר 0<x<1, ו-x>0, כך שהמכפלה שלילית) — הגרף מתקרב לראשית מלמטה. הפונקציה יורדת בקטע 0<x<1/e (סעיף ב'), מגיעה למינימום (1/e,−1/e), ואז עולה החל מ-x=1/e.
- בדרכה למעלה, הפונקציה חוצה את ציר ה-x בדיוק ב-x=1 (העולה מ-y שלילי ל-y חיובי), וממשיכה לעלות ללא גבול כש-x→∞. בכל אורך התחום הגרף קעור כלפי מעלה (סעיף ג'), ואין בו שום נקודת פיתול.
תשובה: f(x)=0 רק ב-x=1; הגרף יורד מ-y→0 (ליד x=0⁺) עד המינימום (1/e,−1/e), חוצה את ציר ה-x ב-x=1, ועולה משם והלאה — קעור כלפי מעלה לאורך כל התחום.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.