שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
בחברת סטארט-אפ, מספר המשתמשים הפעילים באפליקציה מתואר (במודל מתמטי) על ידי הפונקציה f(x) = a·eˣ + b, כאשר x הזמן (בחודשים ממועד ההשקה) ו-a,b פרמטרים קבועים. ידוע כי גרף f עובר דרך הנקודה (ln2, 7), וכי שיפוע המשיק לגרף באותה נקודה הוא 4.
א.מצאו את ערך הפרמטר a, תוך שימוש בנתון על שיפוע המשיק בנקודה (ln2, 7).
6 נק׳הציגו פתרון
- f'(x) = a·eˣ (נגזרת של a·eˣ+b).
- נציב את הנתון על השיפוע: f'(ln2) = a·e^(ln2) = a·2 = 2a. לפי הנתון, 2a = 4.
- נבודד: a = 2.
תשובה: a = 2.
ב.מצאו את ערך הפרמטר b, תוך שימוש בנתון כי הגרף עובר דרך (ln2, 7), ורשמו את הנוסחה המפורשת של f.
6 נק׳הציגו פתרון
- נציב את הנקודה (ln2, 7) ואת a=2 (מסעיף א') בפונקציה: f(ln2) = 2·e^(ln2) + b = 2·2 + b = 4+b.
- לפי הנתון f(ln2)=7: 4+b = 7, ומכאן b = 3.
- הנוסחה המפורשת: f(x) = 2eˣ + 3.
תשובה: b = 3; f(x) = 2eˣ+3.
ג.הוכיחו כי f עולה ממש בכל תחום הגדרתה (לכל x ממשי).
6 נק׳הציגו פתרון
- f'(x) = 2eˣ.
- מכיוון ש-eˣ>0 לכל x ממשי, גם 2eˣ>0 לכל x, כלומר f'(x)>0 תמיד.
- לכן f עולה ממש בכל תחום הגדרתה (כל הישר הממשי).
תשובה: f'(x)=2eˣ>0 לכל x, ולכן f עולה ממש בכל הישר הממשי.
ד.מצאו את האסימפטוטה האופקית של גרף f כש-x→−∞.
7 נק׳הציגו פתרון
- כש-x→−∞, eˣ→0, ולכן f(x)=2eˣ+3 → 2·0+3 = 3.
- לכן y=3 היא אסימפטוטה אופקית של הגרף (בכיוון x→−∞ בלבד; כש-x→∞, f(x)→∞ ואין אסימפטוטה).
תשובה: y = 3.
ה.בהתבסס על העובדה שהוכחתם בסעיף ג' (ולכן f חד-חד-ערכית), מצאו את הערך המדויק של x שעבורו f(x)=13.
8 נק׳הציגו פתרון
- מכיוון ש-f עולה ממש (סעיף ג'), היא חד-חד-ערכית, ולכן קיים לכל היותר פתרון יחיד למשוואה f(x)=13.
- נציב: 2eˣ+3 = 13, ומכאן 2eˣ = 10, כלומר eˣ = 5.
- נפעיל ln על שני האגפים: x = ln5.
תשובה: x = ln5.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.