מהנדס מבנים מתכנן תושבת פלדה משולשת (bracket) התומכת בקורת גג בפינת מחסן. התושבת היא פירמידה משולשת (טטרהדרון) DABC, שבה שלוש הצלעות הנפגשות בקודקוד D — הצלע לאורך הרצפה, הצלע לאורך קיר אחד, והצלע לאורך הקיר השני — מאונכות זו לזו, שכן D ממוקם בדיוק בפינה שבה נפגשים הרצפה ושני הקירות בזוויות ישרות. במערכת צירים שמקורה ב-D וצירי הקואורדינטות שלה לאורך שלוש הצלעות הללו (יחידות: מטרים): D(0,0,0), A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,3). הפאה ABC היא הפאה החיצונית הגלויה של התושבת.
הציגו פתרון
- DA = A−D = (6,0,0). DB = B−D = (0,6,0). DC = C−D = (0,0,3).
- DA·DB = 6·0+0·6+0·0 = 0. DA·DC = 6·0+0·0+0·3 = 0. DB·DC = 0·0+6·0+0·3 = 0.
- שלוש המכפלות הסקלריות מתאפסות, ולכן DA⊥DB, DA⊥DC ו-DB⊥DC — שלוש הצלעות הנפגשות ב-D מאונכות זו לזו בזוגות.
תשובה: DA=(6,0,0), DB=(0,6,0), DC=(0,0,3); כל שלוש המכפלות הסקלריות מתאפסות.
הציגו פתרון
- AB = B−A = (0−6, 6−0, 0−0) = (−6,6,0).
- AD = D−A = (0−6, 0−0, 0−0) = (−6,0,0).
- AC = C−A = (0−6, 0−0, 3−0) = (−6,0,3).
תשובה: AB=(−6,6,0), AD=(−6,0,0), AC=(−6,0,3).
הציגו פתרון
- AD·AB = (−6)(−6)+0·6+0·0 = 36. |AB|² = (−6)²+6²+0² = 72.
- ההיטל של AD על AB: (36/72)·AB = ½·(−6,6,0) = (−3,3,0). לכן u = AD − ההיטל = (−6−(−3), 0−3, 0−0) = (−3,−3,0).
- AC·AB = (−6)(−6)+0·6+3·0 = 36 (אותו ערך, כי הרכיב ה-z של AB הוא 0). ההיטל של AC על AB: (36/72)·AB = (−3,3,0). לכן v = AC − ההיטל = (−6−(−3), 0−3, 3−0) = (−3,−3,3).
תשובה: u = (−3,−3,0); v = (−3,−3,3).
הציגו פתרון
- u נמצא בפאה DAB (כצירוף של AD ו-AB), v נמצא בפאה ABC (כצירוף של AC ו-AB), ושניהם מאונכים לצלע המשותפת AB (ניתן לוודא: u·AB=(−3)(−6)+(−3)(6)+0·0=18−18=0, ובאופן דומה v·AB=0). מכיוון שגם u וגם v יוצאים מאותה נקודה A ומאונכים לאותו ישר (AB), הזווית ביניהם היא בדיוק "זווית המישור" של הזווית הדו-פאתית בין DAB ל-ABC לאורך AB.
- u·v = (−3)(−3)+(−3)(−3)+0·3 = 9+9+0 = 18. |u| = √(9+9) = √18 = 3√2. |v| = √(9+9+9) = √27 = 3√3.
- cos γ = 18/(3√2·3√3) = 18/(9√6) = 2/√6 = 2√6/6 = √6/3.
תשובה: u ו-v מאונכים לצלע המשותפת AB ויוצאים מאותה נקודה — לכן הזווית ביניהם היא הזווית בין הפאות; cos γ = √6/3.
הציגו פתרון
- מסעיף א', DC·DA=0 ו-DC·DB=0, כלומר DC מאונכת לשני הווקטורים DA ו-DB. מכיוון ש-DA ו-DB אינם מקבילים (כיווניהם שונים) והם פורשים יחד את מישור הפאה DAB, DC מאונכת למישור הפאה DAB כולו.
- שטח בסיס המשולש DAB (ישר-זווית ב-D, לפי סעיף א'): ½·|DA|·|DB| = ½·6·6 = 18 מ"ר.
- מכיוון ש-DC מאונכת למישור הבסיס DAB, גובה הטטרהדרון (מהקודקוד C אל מישור הבסיס) שווה בדיוק ל-|DC| = 3 מטרים.
- נפח פירמידה (טטרהדרון): V = (1/3)·שטח הבסיס·גובה = (1/3)·18·3 = 18 מטרים מעוקבים.
תשובה: DC מאונכת למישור DAB, כי היא מאונכת לשני וקטורים בלתי-תלויים בו; נפח = 18 מטרים מעוקבים.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של GeekHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.