שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
אנליסט מידע בוחן מדד יעילות בעיבוד נתונים, המתואר על ידי הפונקציה f(x) = x/ln x, כאשר x פרמטר סקאלה חיובי (x>0) המייצג את גודל מערך הנתונים המעובד ביחס לגודל ייחוס.
א.מצאו את תחום ההגדרה של f.
5 נק׳הציגו פתרון
- הביטוי ln x מוגדר רק עבור x>0.
- המכנה ln x חייב להיות שונה מאפס: ln x≠0, כלומר x≠1.
- לכן תחום ההגדרה הוא x>0 וגם x≠1 (כלומר האיחוד (0,1)∪(1,∞)).
תשובה: x>0 וגם x≠1.
ב.מצאו את f'(x), באמצעות כלל המנה.
7 נק׳הציגו פתרון
- כלל המנה: (u/v)' = (u'v−uv')/v², כאשר u=x, u'=1, v=ln x, v'=1/x.
- f'(x) = [1·ln x − x·(1/x)] / (ln x)² = (ln x − 1) / (ln x)².
תשובה: f'(x) = (ln x−1)/(ln x)².
ג.מצאו את נקודת הקיצון של f (פתרו f'(x)=0), והוכיחו — באמצעות בדיקת סימן f' — כי מדובר בנקודת מינימום.
8 נק׳הציגו פתרון
- נשווה f'(x)=0: מכיוון שהמכנה (ln x)² חיובי תמיד בתחום ההגדרה (x≠1 מבטיח ln x≠0), יש לפתור ln x−1=0, כלומר ln x=1, ומכאן x=e.
- סימן f'(x) נקבע לפי סימן (ln x−1) (המכנה חיובי תמיד): עבור 0<x<1, ln x<0<1 ולכן ln x−1<0 (f'<0). עבור 1<x<e, ln x∈(0,1) ולכן ln x−1<0 (f'<0). עבור x>e, ln x>1 ולכן ln x−1>0 (f'>0).
- לכן f' שלילית בכל התחום (0,1)∪(1,e), וחיובית בתחום (e,∞) — הנגזרת עוברת משלילית לחיובית ב-x=e, ולכן זו נקודת מינימום.
- f(e) = e/ln e = e/1 = e. נקודת המינימום היא (e, e).
תשובה: נקודת מינימום ב-(e, e).
ד.בדקו את התנהגות f בקרבת x=1 משני הצדדים (x→1⁻ ו-x→1⁺), והוכיחו כי הישר x=1 הוא אסימפטוטה אנכית של גרף f.
7 נק׳הציגו פתרון
- כש-x→1⁻ (מתוך התחום, x מעט קטן מ-1): המונה x→1 (חיובי), והמכנה ln x→0⁻ (שלילי קטן, כי ln של מספר מעט קטן מ-1 הוא שלילי קטן). לכן f(x)=x/ln x → 1/0⁻ = −∞.
- כש-x→1⁺ (x מעט גדול מ-1): המונה x→1 (חיובי), והמכנה ln x→0⁺ (חיובי קטן). לכן f(x) → 1/0⁺ = +∞.
- מכיוון ש-|f(x)|→∞ משני צדי x=1, הישר x=1 הוא אסימפטוטה אנכית של גרף f, כאשר הענף השמאלי יורד לכיוון −∞ והענף הימני עולה לכיוון +∞.
תשובה: כש-x→1⁻, f(x)→−∞; כש-x→1⁺, f(x)→+∞; x=1 אסימפטוטה אנכית.
ה.מצאו את lim(x→0⁺) f(x) ואת lim(x→∞) f(x), והסבירו — בהסתמך על סעיפים ג'-ד' ועל שני הגבולות הללו — מדוע ל-f יש מינימום גלובלי (שווה ל-e) רק בקטע (1,∞), בעוד שבקטע (0,1) אין ל-f לא מקסימום ולא מינימום.
6 נק׳הציגו פתרון
- כש-x→0⁺: המונה x→0⁺, והמכנה ln x→−∞. היחס x/ln x → 0/(−∞), כלומר שואף ל-0 (מספר חיובי קטן חלקי מספר שלילי גדול בערכו המוחלט → 0 מהצד השלילי, כי בכל התחום (0,1) מתקיים ln x<0 ו-x>0, כך ש-f(x)<0).
- כש-x→∞: ידוע כי ln x גדל לאט בהרבה מכל חזקה חיובית של x (ובפרט לאט בהרבה מ-x עצמו), ולכן היחס x/ln x → ∞.
- בקטע (0,1): לפי סעיף ג', f יורדת ממש בכל הקטע (f'<0 שם), מהערך 0 (כגבול, לא מתקבל בפועל, כש-x→0⁺) ועד −∞ (כש-x→1⁻). לכן על קטע זה f חסומה מלמעלה על ידי 0 בלבד (ללא השגה) ואינה חסומה מלמטה — אין לא מקסימום ולא מינימום.
- בקטע (1,∞): לפי סעיף ג'-ד', f יורדת מ-+∞ (כש-x→1⁺) עד למינימום e (ב-x=e), ואז עולה שוב עד ∞ (כש-x→∞). לכן על קטע זה f חסומה מלמטה, וערך המינימום הגלובלי שלה בקטע זה הוא בדיוק e, המתקבל ב-x=e; אין לה מקסימום (בלתי חסומה מלמעלה בשני קצות הקטע).
תשובה: lim(x→0⁺)f(x)=0 (מלמטה); lim(x→∞)f(x)=∞; מינימום גלובלי e קיים רק בקטע (1,∞).
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.