שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. כלל המכפלה: (uv)'=u'v+uv', כאשר u=eˣ, u'=eˣ, v=sin x, v'=cos x.
2. f'(x) = eˣ·sin x + eˣ·cos x = eˣ·(sin x+cos x).

תשובה: f'(x) = eˣ·(sin x+cos x).

1. נשווה f'(x)=0: מכיוון ש-eˣ>0 תמיד, יש לפתור sin x+cos x=0.
2. נחלק ב-cos x (נבדוק תחילה ש-cos x≠0 בפתרון: אילו cos x=0, אז sin x=±1, ואז sin x+cos x=±1≠0 — כלומר cos x=0 אינו יכול לקיים את המשוואה, ולכן החלוקה תקפה): tan x=−1.
3. בתחום [0,2π], הפתרונות של tan x=−1 (זווית ברביע השני וברביע הרביעי) הם x=3π/4 ו-x=7π/4.

תשובה: tan x=−1; נקודות אפשריות: x=3π/4, x=7π/4.

1. מכיוון ש-eˣ>0 תמיד, סימן f' נקבע לפי סימן (sin x+cos x) בלבד.
2. ב-x=0: sin0+cos0=0+1=1>0. ב-x=π: sinπ+cosπ=0−1=−1<0. ליד x=2π (למשל x מעט קטן מ-2π): הביטוי חוזר וקרוב ל-sin(2π)+cos(2π)=0+1=1>0.
3. לכן: f'>0 בקטע [0,3π/4), f'<0 בקטע (3π/4,7π/4), f'>0 בקטע (7π/4,2π].
4. ב-x=3π/4 הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית — נקודת מקסימום מקומי. ב-x=7π/4 הנגזרת עוברת משלילית לחיובית — נקודת מינימום מקומי.

תשובה: x=3π/4 מקסימום מקומי; x=7π/4 מינימום מקומי.

1. sin(3π/4)=√2/2, ולכן f(3π/4) = e בחזקת (3π/4), כפול √2/2, כלומר f(3π/4) = (√2/2)·e בחזקת (3π/4).
2. sin(7π/4)=−√2/2, ולכן f(7π/4) = e בחזקת (7π/4), כפול (−√2/2), כלומר f(7π/4) = −(√2/2)·e בחזקת (7π/4).

תשובה: f(3π/4) = (√2/2)·e בחזקת (3π/4); f(7π/4) = −(√2/2)·e בחזקת (7π/4).

1. מכיוון ש-|sin x|≤1 לכל x, מתקיים |f(x)|=eˣ|sin x|≤eˣ — כלומר הגרף כלוא תמיד בין העקומות y=−eˣ ל-y=eˣ (ה"מעטפת" המעריכית).
2. אפסי f בתחום [0,2π] הם בדיוק הנקודות שבהן sin x=0: x=0, x=π, x=2π (שלוש נקודות, המחלקות את התחום לשני "חצאי-גל").
3. בין x=0 ל-x=π מתקבל "גל" חיובי אחד עם שיא ב-x=3π/4 (סעיף ג'), ובין x=π ל-x=2π מתקבל "גל" שלילי אחד עם שפל ב-x=7π/4. שני ה"גלים" חוזרים על אותה צורה יחסית של sin x, אך כל אחד מהם מוכפל בגורם eˣ שגדל ממש (כי eˣ עולה) ככל ש-x גדל.
4. מכיוון ש-7π/4>3π/4, מתקיים e בחזקת (7π/4) גדול בהרבה מ-e בחזקת (3π/4) (eˣ עולה ממש), ולכן משרעת ה"גל" השני (השפל ב-x=7π/4) גדולה בהרבה ממשרעת ה"גל" הראשון (השיא ב-x=3π/4) — זו בדיוק הסיבה לכך שהגרף נראה כתנודה שמשרעתה גדלה עם הזמן, אף ש-sin x עצמה שומרת על משרעת קבועה (בין −1 ל-1).

תשובה: המעטפת eˣ עולה ממש, ולכן כל "גל" עוקב (המוגבל בין שני אפסים סמוכים) גבוה בהרבה מקודמו — זה יוצר את מראה המשרעת הגדלה.