שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. במשולש שווה-צלעות עם צלע s, אורך התיכון (השווה גם לגובה) הוא (√3/2)·s. עבור s=6: תיכון = (√3/2)·6 = 3√3 מטרים.
2. מרכז הכובד O מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד, ולכן OA = (2/3)·(אורך התיכון) = (2/3)·3√3 = 2√3 מטרים. (מאותה סיבה, גם OB=OC=2√3 — O שווה-מרחק משלושת הקודקודים, כלומר הוא גם מרכז המעגל החוסם.)

תשובה: אורך התיכון 3√3 מטרים; OA=2√3 מטרים.

1. מכיוון ש-OE מאונך למישור הבסיס (הפירמידה ישרה), המשולש EOA ישר-זווית בקודקוד O. לפי משפט פיתגורס: EA²=OE²+OA²=3²+(2√3)²=9+12=21, ולכן EA=√21 מטרים.
2. ההטלה של E על מישור הבסיס היא O, ולכן ההטלה של EA על הבסיס היא OA — הזווית θ בין EA למישור הבסיס היא הזווית בקודקוד A במשולש הישר-זווית EOA (הזווית הישרה ב-O).
3. tanθ = מול/צמוד = OE/OA = 3/(2√3). נרציונליזציה: 3/(2√3) = 3√3/(2·3) = √3/2.

תשובה: EA=√21 מטרים; tanθ=√3/2.

1. מכיוון ש-OA=OB=OC=2√3 (סעיף א') ו-OE משותף, כל שלוש הצלעות הצדדיות שוות: EA=EB=EC=√21 (מאותו חישוב פיתגורס כמו בסעיף ב').
2. במשולש EAB: EA=EB=√21, AB=6. לפי משפט הקוסינוסים: AB² = EA²+EB²−2·EA·EB·cos(∠AEB).
3. נציב: 36 = 21+21−2·21·cos(∠AEB) = 42−42cos(∠AEB). נבודד: 42cos(∠AEB)=42−36=6, ומכאן cos(∠AEB)=6/42=1/7.

תשובה: cos(∠AEB) = 1/7.

1. מסעיף א', OA=OC=2√3. מסעיף ג' (ובאותו חישוב עבור C), EA=EC=√21. וגם BA=BC=6 (משולש שווה-צלעות). כלומר כל אחת משלוש הנקודות E, B, O מרוחקת אותו מרחק מ-A ומ-C.
2. קבוצת כל הנקודות במרחב המרוחקות מרחק שווה מ-A ומ-C היא בדיוק מישור האנך האמצעי (מישור הסימטריה) של הקטע AC. מכיוון ששלוש הנקודות E, B, O (שאינן על ישר אחד — O,B במישור הבסיס בעוד E מעליו) מקיימות תנאי זה, מישור זה הוא בדיוק המישור העובר דרך E, B, O.
3. בפרט, גם הנקודה E וגם הנקודה B נמצאות במישור הסימטריה הזה, ולכן הישר EB כולו שוכן בתוך מישור הסימטריה של AC.
4. שיקוף המרחב דרך מישור הסימטריה הזה מחליף בין A ל-C ומשאיר את כל נקודות הישר EB במקומן (כי הישר כולו שוכן במישור). לכן נקודת המפגש של האנך מ-A עם EB, לאחר השיקוף, הופכת לנקודת המפגש של האנך מ-C עם EB — אך מכיוון שכל נקודות EB נשארות במקומן תחת השיקוף, שתי נקודות המפגש הללו הן, למעשה, אותה נקודה K בדיוק.

תשובה: E, B, O שווי-מרחק מ-A ומ-C, ולכן כל הישר EB שוכן במישור האנך האמצעי של AC — משם נובע שהאנך מ-A ומ-C ל-EB חייבים לפגוש את EB באותה נקודה K.

1. נחשב את sin(∠AEB): מ-cos(∠AEB)=1/7 (סעיף ג'), sin²(∠AEB)=1−1/49=48/49, ולכן sin(∠AEB)=√48/7=4√3/7 (הזווית חדה, הסינוס חיובי).
2. במשולש הישר-זווית AKE (הזווית הישרה ב-K, מהגדרת האנך): AK = EA·sin(∠AEB) = √21·(4√3/7) = 4√63/7 = 4·3√7/7 = 12√7/7. באופן זהה (סעיף ד', וסימטריה בין המשולשים EAB ו-ECB): CK = EC·sin(∠BEC) = √21·(4√3/7) = 12√7/7 (כי EC=EA ו-∠BEC=∠AEB מחפיפת המשולשים).
3. מכיוון ש-AK⊥EB ו-CK⊥EB עם K משותף (סעיף ד'), הזווית AKC היא בדיוק הזווית הדו-פאתית המבוקשת. במשולש AKC: AK=CK=12√7/7, AC=6 (צלע המשולש שווה-הצלעות).
4. לפי משפט הקוסינוסים: AC² = AK²+CK²−2·AK·CK·cos(∠AKC). נציב AK²=CK²=(12√7/7)²=144·7/49=1008/49: 36 = 2·(1008/49) − 2·(1008/49)·cos(∠AKC) = (2016/49)·(1−cos(∠AKC)).
5. נבודד: 1−cos(∠AKC) = 36·49/2016 = 1764/2016 = 7/8. ולכן cos(∠AKC) = 1−7/8 = 1/8 — זוהי הזווית הדו-פאתית בין הפאות EAB ו-EBC.

תשובה: cos(הזווית הדו-פאתית) = 1/8.