שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. מהמשוואה x²/25+y²/16=1: a²=25, ולכן a=5. וגם b²=16, ולכן b=4.
2. לפי הקשר a²=b²+c² (מהנוסחאון): c²=a²−b²=25−16=9, ומכאן c=3.
3. המוקדים נמצאים על ציר ה-x (הציר הראשי) במרחק c מהמרכז: F₁(−3,0), F₂(3,0).

תשובה: a=5, b=4, c=3; F₁(−3,0), F₂(3,0).

1. לפי הגדרת האליפסה, PF₁+PF₂=2a=10 (מסעיף א').
2. PF₂=10−PF₁=10−7=3 ק"מ.

תשובה: PF₂=3 ק"מ.

1. F₁F₂ הוא המרחק בין המוקדים: F₁F₂=2c=6.
2. משפט הקוסינוסים: F₁F₂² = PF₁²+PF₂²−2·PF₁·PF₂·cos(∠F₁PF₂).
3. נציב: 36 = 49+9−42cos(∠F₁PF₂) = 58−42cos(∠F₁PF₂). נבודד: 42cos(∠F₁PF₂)=22, ומכאן cos(∠F₁PF₂)=22/42=11/21.
4. sin(∠F₁PF₂) = √(1−(11/21)²) = √((441−121)/441) = √(320/441) = √320/21 = 8√5/21 (הזווית בין 0° ל-180°, הסינוס אי-שלילי).
5. שטח המשולש = ½·PF₁·PF₂·sin(∠F₁PF₂) = ½·7·3·(8√5/21) = ½·21·8√5/21 = ½·8√5 = 4√5 קמ"ר.

תשובה: cos(∠F₁PF₂)=11/21; sin(∠F₁PF₂)=8√5/21; שטח=4√5 קמ"ר.

1. האקסצנטריות e=c/a=3/5.
2. נוסחת הרדיוס המוקדי (למוקד השמאלי): PF₁=a+ex. נציב PF₁=7: 5+(3/5)x=7, ומכאן (3/5)x=2, כלומר x=10/3.
3. נציב x=10/3 במשוואת האליפסה: y²=16(1−x²/25)=16(1−(100/9)/25)=16(1−4/9)=16·(5/9)=80/9, ומכאן y=√(80/9)=4√5/3 (בוחרים בערך החיובי).
4. הבסיס F₁F₂ מונח על ציר ה-x ואורכו 6, והגובה מהקודקוד P הוא |y|=4√5/3. שטח = ½·בסיס·גובה = ½·6·(4√5/3) = ½·8√5 = 4√5 קמ"ר — זהה בדיוק לתוצאת סעיף ג'.

תשובה: P(10/3, 4√5/3); שטח=4√5 קמ"ר (זהה לסעיף ג').

1. מכיוון שהבסיס F₁F₂ (אורך 2c=6) קבוע ומונח על ציר ה-x, שטח המשולש PF₁F₂ שווה תמיד ל-½·2c·|y_P| = c·|y_P|, כאשר y_P שיעור ה-y של P.
2. על האליפסה מתקיים תמיד |y_P|≤b=4 (b הוא המרחק המרבי מציר ה-x לנקודה על האליפסה), עם שוויון בדיוק כאשר P נמצא בקצה הציר המשני, כלומר P=(0,4) או P=(0,−4).
3. לכן שטח המשולש מקסימלי בדיוק כאשר |y_P|=b=4, והשטח המרבי הוא c·b=3·4=12 קמ"ר.

תשובה: השטח המרבי מתקבל ב-P=(0,±4), ושווה ל-12 קמ"ר.