שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · ברמת הבחינה
מעצבת חזיתות בוחנת קובייה שקופה ABCD-EFGH (בסיס תחתון ABCD, בסיס עליון EFGH, כאשר E מעל A, F מעל B, G מעל C, H מעל D בהתאמה), המשמשת כאלמנט עיצובי בחזית מבנה. היא מעוניינת לחשב את הזווית בין שני אלכסוני-פאה של הקובייה שאינם נפגשים באף קודקוד משותף: אלכסון הבסיס התחתון AC ואלכסון הפאה הימנית BG.
א.הניחו כי אורך צלע הקובייה הוא 6 ס"מ, ומקמו אותה במערכת צירים כך ש-A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), E(0,0,6), F(6,0,6), G(6,6,6), H(0,6,6). רשמו את הווקטורים AC ו-BG כווקטורי קואורדינטות, וציינו מדוע לשני האלכסונים הללו אין אף קודקוד משותף.
5 נק׳הציגו פתרון
- AC = C−A = (6,6,0). BG = G−B = (0,6,6).
- אלכסון AC מחבר את הקודקודים A ו-C (בפאה התחתונה), ואלכסון BG מחבר את הקודקודים B ו-G (בפאה הימנית). הקבוצות {A,C} ו-{B,G} זרות (אין קודקוד משותף), ולכן שני הקטעים הללו הם קטעים מצטלבים-למחצה (skew) — לא נחתכים ולא מקבילים.
תשובה: AC=(6,6,0), BG=(0,6,6); קודקודי AC הם {A,C} וקודקודי BG הם {B,G} — קבוצות זרות.
ב.מכיוון ש-AC ו-BG אינם נפגשים, כדי למצוא את הזווית ביניהם יש "להזיז" (להעתיק במקביל) את אחד מהם עד שיתחיל באותה נקודה כמו השני. רשמו את הווקטור AH (מ-A ל-H) כווקטור קואורדינטות, והראו כי AH שווה בדיוק לווקטור BG — כלומר ש-AH הוא בדיוק ההעתק המקבילי של BG המתחיל בנקודה A.
6 נק׳הציגו פתרון
- AH = H−A = (0,6,6).
- מסעיף א', BG = (0,6,6). מכיוון ש-AH ו-BG הם אותו וקטור קואורדינטות בדיוק (0,6,6)=(0,6,6), הם מקבילים ושווים באורכם — AH הוא ההעתק המקבילי המדויק של BG, שמתחיל כעת בנקודה A במקום ב-B. (הסבר גאומטרי: פאה ADHE מקבילה לפאה BCGF שממנה יצא BG, ו-AH הוא אלכסון הפאה המקבילה — לכן מקביל ושווה בגודלו ל-BG.)
תשובה: AH = (0,6,6) = BG.
ג.מכיוון ש-AC ו-AH יוצאים כעת מאותה נקודה A, חשבו באמצעות מכפלה סקלרית את הזווית θ ביניהם — וזוהי, לפי סעיף ב', גם הזווית בין AC לבין BG.
8 נק׳הציגו פתרון
- AC = (6,6,0), AH = (0,6,6) (מסעיפים א', ב').
- AC·AH = 6·0 + 6·6 + 0·6 = 36. |AC| = √(36+36) = 6√2. |AH| = √(36+36) = 6√2.
- cos θ = 36/(6√2·6√2) = 36/72 = ½. מכיוון ש-0°≤θ≤180° (זווית בין שני קטעים), θ = 60°.
תשובה: θ = 60°.
ד.הוכיחו כי התוצאה θ=60° אינה תלויה באורך צלע הקובייה — כלומר חזרו על החישוב עבור קובייה כללית שאורך צלעה a (a>0 כלשהו), והראו כי מתקבל תמיד cos θ = ½.
8 נק׳הציגו פתרון
- עבור קובייה עם צלע a: A(0,0,0), C(a,a,0), B(a,0,0), H(0,a,a), ולכן AC=(a,a,0) ו-AH=(0,a,a) (באותו אופן כמו בסעיפים א'-ב', רק עם a במקום 6).
- AC·AH = a·0 + a·a + 0·a = a². |AC| = √(a²+a²) = a√2. |AH| = √(a²+a²) = a√2 (עבור a>0).
- cos θ = a²/(a√2·a√2) = a²/(2a²) = ½ — הביטוי a² מצטמצם לחלוטין, ולכן cos θ = ½ עבור כל a>0, ובפרט הזווית θ=60° בין שני אלכסוני-הפאה אינה תלויה בגודל הקובייה.
תשובה: עבור צלע כללית a, מתקיים תמיד cos θ = ½, ללא תלות ב-a.
ה.תלמיד טוען: "מכיוון ש-AC ו-BG אינם נחתכים ואינם מקבילים, אין כלל זווית מוגדרת ביניהם." האם צדק? נמקו, תוך התבססות על השיטה שהופעלה בסעיפים ב'-ג'.
6 נק׳הציגו פתרון
- הזווית בין שני קטעים מצטלבים-למחצה (כמו AC ו-BG) כן מוגדרת היטב: מזיזים (מעתיקים במקביל) את אחד הקטעים עד שיתחיל באותה נקודה כמו השני (כפי שנעשה בסעיף ב', שבו AH הוא ההעתק המקבילי של BG המתחיל ב-A), ולאחר מכן מחשבים את הזווית בין שני הווקטורים היוצאים מאותה נקודה, בעזרת מכפלה סקלרית (כפי שנעשה בסעיף ג').
- שיטה זו תקפה תמיד לכל שני קטעים במרחב, ללא תלות בכך שהם נחתכים, מקבילים, או מצטלבים-למחצה — ובמקרה שלנו התקבלה זווית מוגדרת היטב, θ=60° (סעיף ג'), שאף אינה תלויה בגודל הקובייה (סעיף ד'). לכן טענת התלמיד שגויה.
תשובה: לא צדק — לכל שני קטעים במרחב, גם אם הם מצטלבים-למחצה (skew), יש זווית מוגדרת ביניהם.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.