שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · קלה יחסית
מהנדסת אקוסטיקה מודדת רעש במפעל באמצעות מדד לוגריתמי L, המוגדר על ידי הנוסחה L(I) = ln(I/I₀), כאשר I עוצמת הרעש הנמדדת (ביחידות פיזיקליות מתאימות) ו-I₀ הוא עוצמת ייחוס קבועה (סף שמיעה).
א.בדיקה מסוימת העלתה כי עוצמת הרעש הנמדדת היא I = e⁴·I₀ (פי e⁴ מעוצמת הייחוס). מצאו את ערך המדד L במקרה זה.
5 נק׳הציגו פתרון
- L(I) = ln(I/I₀) = ln(e⁴·I₀/I₀) = ln(e⁴) = 4.
תשובה: L=4.
ב.במדידה אחרת התקבל L=6. מצאו את עוצמת הרעש I (ביחס ל-I₀) המתאימה למדידה זו.
5 נק׳הציגו פתרון
- נציב L=6 בנוסחה: ln(I/I₀)=6.
- נפעיל את הפונקציה ההופכית ל-ln (העלאה בחזקת e) על שני האגפים: I/I₀ = e⁶, ומכאן I = e⁶·I₀.
תשובה: I = e⁶·I₀.
ג.נניח כי עוצמת הרעש גדלה פי k (k>0 קבוע כלשהו), כלומר I_חדש = k·I_ישן. הוכיחו כי השינוי במדד, ΔL=L_חדש−L_ישן, שווה תמיד ל-ln k — ללא תלות בעוצמת הרעש ההתחלתית I_ישן. יישמו את התוצאה עבור k=3.
8 נק׳הציגו פתרון
- L_ישן = ln(I_ישן/I₀). L_חדש = ln(I_חדש/I₀) = ln(k·I_ישן/I₀) = ln k + ln(I_ישן/I₀) (לפי חוק הלוגריתם של מכפלה) = ln k + L_ישן.
- לכן ΔL = L_חדש−L_ישן = ln k — ביטוי התלוי אך ורק ב-k (יחס השינוי), ואינו תלוי כלל בערך ההתחלתי I_ישן.
- עבור k=3: ΔL=ln3.
תשובה: ΔL=ln k לכל I_ישן; עבור k=3: ΔL=ln3.
ד.הסיקו מסעיף ג' (במקרה הפרטי k=2) מדוע הכפלת עוצמת הרעש פי 2 מוסיפה למדד L תמיד בדיוק את אותו קבוע ln2 — ללא תלות בעוצמת ההתחלתית. נמקו מדוע עובדה זו הופכת את מדד L ל"מדד יחסי" (הפרשים במדד תלויים רק ביחס, לא בערכים המוחלטים).
7 נק׳הציגו פתרון
- לפי סעיף ג' (עם k=2): ΔL = ln2, ותוצאה זו נכונה עבור כל עוצמת התחלה I_ישן שהיא, כי ההוכחה בסעיף ג' לא הניחה שום דבר על הערך הספציפי של I_ישן.
- כלומר, בכל פעם שעוצמת הרעש מוכפלת פי 2 (בין אם מ-I₀ ל-2I₀, מ-5I₀ ל-10I₀, או מכל עוצמה אחרת לכפולתה), מדד L עולה בדיוק באותו קבוע ln2.
- זו הסיבה שמדד לוגריתמי כמו L נקרא "מדד יחסי": ההפרש במדד תלוי אך ורק ביחס בין העוצמות (כאן: פי 2), ולא בערכים המוחלטים שלהן — תכונה שאינה מתקיימת עבור העוצמה הגולמית I עצמה.
תשובה: הכפלה פי 2 מוסיפה תמיד ln2 בדיוק ל-L, ללא תלות בעוצמה ההתחלתית.
ה.עוצמת רעש מתחילה מערך כלשהו (עם מדד התחלתי L₀), ועוברת n הכפלות רצופות (כל פעם פי 2). הראו — באמצעות הכללה של סעיף ד' — כי המדד לאחר n ההכפלות הוא L_n=L₀+n·ln2. חשבו קירוב מספרי (לפי ln2≈0.693) לתוספת הכוללת למדד לאחר n=10 הכפלות.
8 נק׳הציגו פתרון
- אם העוצמה ההתחלתית היא I עם מדד L₀=ln(I/I₀), אז לאחר n הכפלות רצופות פי 2, העוצמה החדשה היא 2ⁿ·I. המדד החדש: L_n = ln(2ⁿ·I/I₀) = ln(2ⁿ) + ln(I/I₀) = n·ln2 + L₀ (לפי חוק הלוגריתם של מכפלה וחזקה).
- לכן L_n=L₀+n·ln2 — כל אחת מ-n ההכפלות תורמת בדיוק ln2 נוסף למדד, בהתאמה מלאה להכללה של סעיף ד'.
- התוספת הכוללת לאחר n=10 הכפלות: 10·ln2 ≈ 10·0.693 = 6.93 (ערך מדויק: 10ln2; קירוב מעשי: כ-6.93).
תשובה: L_n=L₀+n·ln2; לאחר 10 הכפלות, התוספת הכוללת ≈ 6.93.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.