ריכוז תרופה בדם — קיצון · מתכונת 35572

1. c(0) = 100·(e⁰ − e⁰) = 100·(1−1) = 0. משמעות: ברגע נטילת התרופה (t=0) עדיין אין ממנה כלל בזרם הדם — סביר מבחינה פיזיולוגית.
2. כש-t→∞: e בחזקת (−t)→0 וגם e בחזקת (−3t)→0, ולכן c(t)→100·(0−0)=0. משמעות: לאורך זמן, כל התרופה מסולקת מהגוף וריכוזה בדם שואף לאפס.

תשובה: c(0)=0 (אין תרופה בדם ברגע הנטילה); lim(t→∞) c(t)=0 (התרופה מתפרקת/מסולקת לחלוטין עם הזמן).

1. נגזור איבר-איבר: הנגזרת של e בחזקת (−t) היא −e בחזקת (−t) (כלל השרשרת), והנגזרת של e בחזקת (−3t) היא −3e בחזקת (−3t).
2. c'(t) = 100·[−e בחזקת (−t) − (−3e בחזקת (−3t))] = 100·[−e בחזקת (−t) + 3e בחזקת (−3t)] = 100·(3e בחזקת (−3t) − e בחזקת (−t)).

תשובה: c'(t) = 100·(3e בחזקת (−3t) − e בחזקת (−t)).

1. נשווה c'(t)=0: 3e בחזקת (−3t) = e בחזקת (−t). נחלק את שני האגפים ב-e בחזקת (−3t) (חיובי תמיד): 3 = e בחזקת (−t) / e בחזקת (−3t) = e בחזקת (−t−(−3t)) = e בחזקת (2t).
2. מכאן e בחזקת (2t) = 3. נפעיל ln על שני האגפים: 2t = ln3, ומכאן t = (ln3)/2.
3. נוציא גורם משותף מ-c': c'(t) = 100·e בחזקת (−t)·(3e בחזקת (−2t) − 1) (הוצאת e בחזקת (−t) מכל איבר). מכיוון ש-e בחזקת (−t)>0 תמיד, הסימן נקבע לפי (3e בחזקת (−2t) − 1), שחיובי כאשר e בחזקת (−2t)>1/3, כלומר כאשר t<(ln3)/2, ושלילי כאשר t>(ln3)/2. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית — נקודת מקסימום.

תשובה: t = (ln3)/2 שעות, ומדובר במקסימום.

1. נסמן t*=(ln3)/2, כך ש-2t*=ln3. לכן e בחזקת (2t*) = e בחזקת (ln3) = 3 (מכיוון ש-eˣ ו-ln x פונקציות הופכיות).
2. אבל גם e בחזקת (2t*) = (e בחזקת (t*))², ולכן (e בחזקת (t*))²=3, ומכאן e בחזקת (t*)=√3 (הערך תמיד חיובי). לכן e בחזקת (−t*) = 1/√3.
3. וגם e בחזקת (−3t*) = (e בחזקת (−t*))³ = (1/√3)³ = 1/(3√3) = √3/9 (לאחר רציונליזציה: 1/(3√3)=√3/(3·3)=√3/9).
4. c(t*) = 100·(1/√3 − √3/9). נביא למכנה משותף: 1/√3 = 3√3/9 (כי 1/√3 = √3/3 = 3√3/9). לכן c(t*) = 100·(3√3/9 − √3/9) = 100·(2√3/9) = 200√3/9 מ"ג/ליטר.

תשובה: c((ln3)/2) = 200√3/9 מ"ג/ליטר.

1. c'(t) = 100·[−e בחזקת (−t) + k·e בחזקת (−kt)]. נשווה ל-0: k·e בחזקת (−kt) = e בחזקת (−t).
2. נחלק ב-e בחזקת (−kt) (חיובי תמיד): k = e בחזקת (−t) / e בחזקת (−kt) = e בחזקת (−t+kt) = e בחזקת ((k−1)t).
3. נפעיל ln: ln k = (k−1)t. מכיוון ש-k>1, מתקיים k−1>0, וניתן לחלק: t(k) = ln(k)/(k−1). (בדיקה עבור k=3: t(3)=ln3/2, בהתאמה מלאה לסעיף ג'.)
4. נוודא שזו אכן נקודת מקסימום, באותה בדיקת סימן כמו בסעיף ג': נוציא גורם משותף, c'(t) = 100·e בחזקת (−t)·(k·e בחזקת (−(k−1)t) − 1). מכיוון ש-e בחזקת (−t)>0 תמיד, הסימן נקבע לפי הגורם השני, שחיובי כאשר e בחזקת ((k−1)t)<k, כלומר כאשר t<ln(k)/(k−1), ושלילי כאשר t>ln(k)/(k−1). הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית — ולכן t(k)=ln(k)/(k−1) הוא אכן זמן השיא.
5. הוכחת הגבול: ln k גדל לאט בהרבה מ-(k−1) ככל ש-k→∞ (עובדה ידועה על קצבי גדילה — פונקציה לוגריתמית גדלה לאט בהרבה מכל פונקציה ליניארית). לכן היחס ln(k)/(k−1) שואף ל-0 כש-k→∞, כלומר lim(k→∞) t(k) = 0.
6. משמעות מעשית: ככל שהתרופה מסולקת מהר יותר מהגוף (k גדול יותר), זמן הגעת הריכוז לשיא מתקרב לרגע הנטילה עצמו.

תשובה: t(k) = ln(k)/(k−1); lim(k→∞) t(k) = 0.